Soit le repère orthonormal \left(O;I;J\right). On considère les points A \left(-2;1\right), B \left(0;5\right), C \left(4;7\right), D \left(2;3\right).
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
Soit le repère orthonormal \left(O;I;J\right). On considère les points A \left(-2;-3\right), B \left(-4;4\right), C \left(1;13\right), D \left(3;6\right).
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
Soit le repère orthonormal \left(O;I;J\right). On considère les points A \left(-1;2\right), B \left(3;3\right), C \left(4;-1\right), D \left(0;-2\right).
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
Soit le repère orthonormal \left(O;I;J\right). On considère les points A \left(4;1\right), B \left(2;5\right), C \left(-2;3\right), D \left(0;-1\right).
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
Pour démontrer que ABCD est un carré, on peut démontrer que c'est un rectangle qui a deux côtés consécutifs de même longueur.
Montrer que ABCD est un parallélogramme
Pour montrer que ABCD est un parallélogramme, on peut vérifier que ses diagonales se coupent en leur milieu.
Soit M le milieu de la diagonale \left[AC\right]. Les coordonnées de M sont :
- x_{M}=\dfrac{x_{A}+x_{C}}{2}=\dfrac{4-2}{2}=1
- y_{M}=\dfrac{y_{A}+y_{C}}{2}=\dfrac{1+3}{2}=2
On a donc : M \left(1;2\right).
Soit N le milieu de la diagonale \left[BD\right]. Les coordonnées de N sont :
- x_{N}=\dfrac{x_{B}+x_{D}}{2}=\dfrac{2+0}{2}=1
- y_{N}=\dfrac{x_{B}+x_{D}}{2}=\dfrac{5-1}{2}=2
On a donc également : N \left(1;2\right).
On en déduit que les diagonales de ABCD ont même milieu : ABCD est donc un parallélogramme.
Montrer que ABCD est un rectangle
Pour démontrer qu'un parallélogramme est un rectangle, il suffit par exemple de montrer que ses diagonales ont même longueur :
- AC=\sqrt{\left(x_{C}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{C}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(-2-4\right)^{2}+\left(3-1\right)^{2}}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}
- BD=\sqrt{\left(x_{D}-x_{B}\right)^{2}+\left(y_{D}-y_{B}\right)^{2}}=\sqrt{\left(0-2\right)^{2}+\left(-1-5\right)^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}
On en déduit que les diagonales \left[AC\right] et \left[BD\right] ont donc même longueur : ABCD est donc un rectangle.
Montrer que ABCD est un carré
Pour démontrer qu'un parallélogramme est un losange, il suffit par exemple de montrer qu'il possède deux côtés consécutifs de même longueur :
- AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(2-4\right)^{2}+\left(5-1\right)^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}
- AD=\sqrt{\left(x_{D}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{D}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(0-4\right)^{2}+\left(-1-1\right)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}
On a donc : AB=AD.
ABCD est donc un carré.
Soit le repère orthonormal \left(O;I;J\right). On considère les points A \left(1;-2\right), B \left(2;1\right), C \left(-4;3\right), D \left(-5;0\right).
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
Pour démontrer que ABCD est un rectangle, on peut démontrer que c'est un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur.
Montrer que ABCD est un parallélogramme
Pour montrer que ABCD est un parallélogramme, on peut vérifier que ses diagonales se coupent en leur milieu.
Soit M le milieu de la diagonale \left[AC\right]. Les coordonnées de M sont :
- x_{M}=\dfrac{x_{A}+x_{C}}{2}=\dfrac{1-4}{2}=-\dfrac{3}{2}
- y_{M}=\dfrac{y_{A}+y_{C}}{2}=\dfrac{-2+3}{2}=\dfrac{1}{2}
On a donc : M \left(-\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right).
Soit N le milieu de la diagonale \left[BD\right]. Les coordonnées de N sont :
- x_{N}=\dfrac{x_{B}+x_{D}}{2}=\dfrac{2-5}{2}=-\dfrac{3}{2}
- y_{N}=\dfrac{x_{B}+x_{D}}{2}=\dfrac{1+0}{2}=\dfrac{1}{2}
On a donc également : N \left(-\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right).
On en déduit que les diagonales de ABCD ont même milieu : ABCD est donc un parallélogramme.
Montrer que ABCD est un rectangle
Pour démontrer qu'un parallélogramme est un losange, il suffit par exemple de montrer que ses diagonales ont même longueur :
- AC=\sqrt{\left(x_{C}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{C}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(-4-1\right)^{2}+\left(3-\left(-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}
- BD=\sqrt{\left(x_{D}-x_{B}\right)^{2}+\left(y_{D}-y_{B}\right)^{2}}=\sqrt{\left(-5-2\right)^{2}+\left(0-1\right)^{2}}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}
Les diagonales \left[AC\right] et \left[BD\right] ont donc même longueur.
ABCD est donc un rectangle.
Soit le repère orthonormal \left(O;I;J\right). On considère les points A \left(-2;2\right), B \left(3;1\right), C \left(-1;-3\right), D \left(-6;-2\right).
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
Pour montrer que ABCD est un parallélogramme, on peut vérifier que ses diagonales se coupent en leur milieu.
Soit M le milieu de la diagonale \left[AC\right]. Les coordonnées de M sont :
- x_{M}=\dfrac{x_{A}+x_{C}}{2}=\dfrac{-2-1}{2}=\dfrac{-3}{2}
- y_{M}=\dfrac{y_{A}+y_{C}}{2}=\dfrac{2-3}{2}=-\dfrac{1}{2}
On a donc : M \left(-\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2}\right).
Soit N le milieu de la diagonale \left[BD\right]. Les coordonnées de N sont :
- x_{N}=\dfrac{x_{B}+x_{D}}{2}=\dfrac{3-6}{2}=-\dfrac{3}{2}
- y_{N}=\dfrac{x_{B}+x_{D}}{2}=\dfrac{1-2}{2}=-\dfrac{1}{2}
On a donc également : N \left(-\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2}\right).
On en déduit que les diagonales de ABCD ont même milieu.
ABCD est donc un parallélogramme.
Soit le repère orthonormal \left(O;I;J\right). On considère les points A \left(8;5\right), B \left(4;2\right), C \left(4;-3\right), D \left(8;0\right).
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
Pour démontrer que ABCD est un losange, on peut démontrer que c'est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur.
Montrer que ABCD est un parallélogramme
Pour montrer que ABCD est un parallélogramme, on peut vérifier que ses diagonales se coupent en leur milieu.
Soit M le milieu de la diagonale \left[AC\right]. Les coordonnées de M sont :
- x_{M}=\dfrac{x_{A}+x_{C}}{2}=\dfrac{8+4}{2}=6
- y_{M}=\dfrac{y_{A}+y_{C}}{2}=\dfrac{5-3}{2}=1
On a donc : M \left(6;1\right).
Soit N le milieu de la diagonale \left[BD\right]. Les coordonnées de N sont :
- x_{N}=\dfrac{x_{B}+x_{D}}{2}=\dfrac{4+8}{2}=6
- y_{N}=\dfrac{y_{B}+y_{D}}{2}=\dfrac{2+0}{2}=1
On a donc également : N \left(6;1\right).
On en déduit que les diagonales de ABCD ont même milieu : ABCD est donc un parallélogramme.
Montrer que ABCD est un losange
Pour démontrer qu'un parallélogramme est un losange, il suffit par exemple de montrer qu'il possède deux côtés consécutifs de même longueur :
- AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(4-8\right)^{2}+\left(2-5\right)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5
- AD=\sqrt{\left(x_{D}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{D}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(8-8\right)^{2}+\left(0-5\right)^{2}}=\sqrt{0+25}=\sqrt{25}=5
Les segments consécutifs \left[AB\right] et \left[AD\right] sont donc de même longueur.
ABCD est donc un losange.