Géométrie analytiqueCours

I

Le repérage dans le plan

A

Le repère orthonormal

Repère orthonormal

On définit un repère du plan, d'origine O, par trois points O, I et J non alignés.
Si le triangle OIJ est rectangle isocèle en O, on dit que le repère est orthonormal (ou orthonormé).

-

Si le triangle OIJ est rectangle non isocèle, on parle de repère orthogonal. Si le triangle OIJ n'est pas rectangle, on parle de repère quelconque.

Le repère suivant est un repère orthogonal.

-
B

Les coordonnées d'un point

Axes

Soit \left( O;I,J \right) un repère d'origine O :

  • La droite \left( OI\right) est appelée axe des abscisses.
  • La droite \left( OJ\right) est appelée axe des ordonnées.

Coordonnées

Soit M un point du plan muni d'un repère \left( O;I,J \right). La droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par M coupe \left( OI \right) en N. La droite parallèle à l'axe des abscisses passant par M coupe \left( OJ \right) en K. On note :

  • x l'abscisse du point N sur la droite \left( OI \right) munie du repère \left( O;I \right)
  • y l'abscisse du point K sur la droite \left( OJ \right) munie du repère \left( O;J\right) (la position d'un point sur un seul axe gradué s'appelle bien l'abscisse)

Le couple \left( x;y \right) est unique et est appelé coordonnées du point M dans le repère \left( O;I,J \right).

-

Abscisse et ordonnée

Le réel x est l'abscisse de M, le réel y est l'ordonnée de M.

-

Les coordonnées de I sont (1 ; 0) et de J sont (0 ; 1). Dans l'exemple ci-dessus, les coordonnés de M sont (2 ; 2).

C

La distance

Distance

Dans un repère orthonormal, la distance entre les points A\left(x_a ; y_a\right) et B\left(x_b ; y_b\right), notée AB, est égale à :

AB =\sqrt{\left(x_{B} - x_{A}\right)^{2} + \left(y_{B} - y_{A}\right)^{2}}

Si on considère les points A(3 ; 5) et B(−2 ; 7), alors la distance AB est égale à :

AB=\sqrt{\left( x_B-x_A \right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{\left(−2−3\right)^2+\left(7−5\right)^2}=\sqrt{\left(−5\right)^2+2^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}

D

Les coordonnées du milieu d'un segment

Milieu

Soient A et B deux points de coordonnées respectives \left( x_A;y_A \right) et \left( x_B;y_B \right) dans un repère du plan. Le milieu I de [AB] a pour coordonnées :

I \text{ } \left(\dfrac{x_A + x_B}{2};\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)

Si on considère les points A(3 ; 5) et B(−2 ; 7), alors le milieu I de [AB] a pour coordonnées :

I \text{ } \left(\dfrac{x_A + x_B}{2};\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)

I \text{ } \left(\dfrac{3 + \left(-2\right)}{2};\dfrac{5 + 7}{2}\right)

I \text{ } \left(\dfrac{1}{2};\dfrac{12}{2}\right)

I \text{ } \left(\dfrac{1}{2};6\right)

II

Les droites dans le repère

A

Les équations de droites

Equation d'une droite

On appelle équation d'une droite dans un repère une égalité vérifiée (uniquement) par les coordonnées \left(x ; y\right) de tous les points de cette droite.

Dans un repère, toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme : y=mx+pm et p sont deux nombres réels. Cette équation est appelée "équation réduite de la droite".

-

Si la droite est parallèle à l'axe des abscisses, c'est-à-dire "horizontale", alors une équation de la droite est du type y=p.

C'est le cas particulier où m=0.

-

Une droite parallèle à l'axe des ordonnées, c'est-à-dire "verticale", admet une équation de la forme x=k, avec k réel.

-
B

Le coefficient directeur

Coefficient directeur

Soit D une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, d'équation y = mx + p.
Le réel m est appelé coefficient directeur (ou pente) de la droite D.

La droite d'équation y=\dfrac12x+6 a pour coefficient directeur \dfrac12.

Ordonnée à l'origine

Avec les notations précédentes, le réel p de l'équation y=mx+p est appelé ordonnée à l'origine de la droite D.

La droite d'équation y=\dfrac12x+6 a pour ordonnée à l'origine 6.

-

Une droite parallèle à l'axe des abscisses est une droite de pente nulle.

La droite d'équation y=12 est parallèle à l'axe des abscisses et son coefficient directeur est égal à 0.

Coefficient directeur

Soient A et B deux points distincts d'une droite D non parallèle à l'axe des ordonnées. Le coefficient directeur m de la droite D est égal à :

m =\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

-

La droite (d) ci-dessus passe par les points A \left(3 ; 5\right) et B \left(−1 ; −4\right). Son coefficient directeur est égal à :

m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-4-5}{-1-3}=\dfrac94.

Trois points du plan A, B et C sont alignés si et seulement si les droites \left( AB \right) et \left( AC \right) ont le même coefficient directeur.

Soient A,B et C les points de coordonnés respectives A\left( 1;3 \right), B\left( 2;5 \right) et C\left( 3;7 \right).

Le coefficient directeur de la droite \left( AB \right) est : m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{5-3}{2-1}=2

Le coefficient directeur de la droite \left( AC \right) est : n=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{7-3}{3-1}=\dfrac{4}{2}=2

Les points A, B et C sont alignés car m=n.

C

Les droites parallèles

Droites parallèles

Deux droites, non parallèles à l'axe des ordonnées, sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux.

Les droites (d) et (d') ci-dessous ont le même coefficient directeur, -\dfrac13. Elles sont parallèles.

-

Deux droites parallèles sont confondues ou strictement parallèles.

Deux droites parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles entre elles.

Les droites d'équation x=-3 et x=5 sont parallèles, car elles sont toutes les deux parallèles à l'axe des ordonnées.

D

Systèmes et intersection de deux droites

Système et point d'intersection

Soient deux droites D et D', d'équations respectives y = mx + p et y = m'x + p'.
Ces deux droites sont sécantes en un point si et seulement si le système suivant admet un unique couple solution \left(x ; y\right), qui correspond aux coordonnées du point d'intersection de D et D' :

\begin{cases}y = mx + p \cr \cr y = m'x + p'\end{cases}

Recherchons les coordonnées \left( x;y \right) du point d'intersection I des droites d'équation y=\dfrac23x+2 et y=-\dfrac13x+5.

Pour cela on résout le système formé par ces deux équations :

\left(S\right):\begin{cases} y=\dfrac23x+2 \cr \cr y=-\dfrac13x+5 \end{cases}

Les deux droites ont pour coefficients directeurs respectifs \dfrac{2}{3} et -\dfrac{1}{3}. Or, \dfrac{2}{3}\neq -\dfrac{1}{3}. Les droites sont donc bien sécantes.

Résolvons le système :

\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac23x+2 \cr \cr \dfrac23x+2 =-\dfrac13x+5 \end{cases}

On résout la deuxième équation :

\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac23x+2 \cr \cr \dfrac23x+\dfrac13x =5-2 \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac23x+2 \cr \cr x=3 \end{cases}

On remplace la valeur obtenue pour x dans la première équation :

\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac{2}{3}\times3+2 \cr \cr x=3 \end{cases}

\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} y=4\cr \cr x=3 \end{cases}

Par conséquent, le point I a pour coordonnées \left(3 ; 4\right).

-
  • Si les droites sont sécantes, le système admet un unique couple solution.
  • Si les droites sont strictement parallèles, le système n'admet pas de solution.
  • Si les droites sont confondues, le système admet une infinité de solutions.