Géométrie analytique Cours

I

Le repérage dans le plan

A

Le repère orthonormal

Repère orthonormal

On définit un repère du plan, d'origine O, par trois points O, I et J non alignés.
Si le triangle OIJ est rectangle isocèle en O, on dit que le repère est orthonormal (ou orthonormé).

-

Si le triangle OIJ est rectangle non isocèle, on parle de repère orthogonal. Si le triangle OIJ n'est pas rectangle, on parle de repère quelconque.

Le repère suivant est un repère orthogonal.

-
B

Les coordonnées d'un point

Axes

Soit \(\displaystyle{\left( O;I,J \right)}\) un repère d'origine O :

  • La droite \(\displaystyle{\left( OI\right)}\) est appelée axe des abscisses.
  • La droite \(\displaystyle{\left( OJ\right)}\) est appelée axe des ordonnées.

Coordonnées

Soit M un point du plan muni d'un repère \(\displaystyle{\left( O;I,J \right)}\). La droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par M coupe \(\displaystyle{\left( OI \right)}\) en N. La droite parallèle à l'axe des abscisses passant par M coupe \(\displaystyle{\left( OJ \right)}\) en K. On note :

  • x l'abscisse du point N sur la droite \(\displaystyle{\left( OI \right)}\) munie du repère \(\displaystyle{\left( O;I \right)}\)
  • y l'abscisse du point K sur la droite \(\displaystyle{\left( OJ \right)}\) munie du repère \(\displaystyle{\left( O;J\right)}\) (la position d'un point sur un seul axe gradué s'appelle bien l'abscisse)

Le couple \(\displaystyle{\left( x;y \right)}\) est unique et est appelé coordonnées du point M dans le repère \(\displaystyle{\left( O;I,J \right)}\).

-

Abscisse et ordonnée

Le réel \(\displaystyle{x}\) est l'abscisse de M, le réel \(\displaystyle{y}\) est l'ordonnée de M.

-

Les coordonnées de I sont (1 ; 0) et de J sont (0 ; 1). Dans l'exemple ci-dessus, les coordonnés de M sont (2 ; 2).

C

La distance

Distance

Dans un repère orthonormal, la distance entre les points \(\displaystyle{A\left(x_a ; y_a\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(x_b ; y_b\right)}\), notée AB, est égale à :

\(\displaystyle{ AB =\sqrt{\left(x_{B} - x_{A}\right)^{2} + \left(y_{B} - y_{A}\right)^{2}}}\)

Si on considère les points A(3 ; 5) et B(−2 ; 7), alors la distance AB est égale à :

\(AB=\sqrt{\left( x_B-x_A \right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{\left(−2−3\right)^2+\left(7−5\right)^2}=\sqrt{\left(−5\right)^2+2^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\)

D

Les coordonnées du milieu d'un segment

Milieu

Soient A et B deux points de coordonnées respectives \(\displaystyle{\left( x_A;y_A \right)}\) et \(\displaystyle{\left( x_B;y_B \right)}\) dans un repère du plan. Le milieu I de [AB] a pour coordonnées :

\(\displaystyle{I \text{ } \left(\dfrac{x_A + x_B}{2};\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)}\)

Si on considère les points A(3 ; 5) et B(−2 ; 7), alors le milieu I de [AB] a pour coordonnées :

\(\displaystyle{I \text{ } \left(\dfrac{x_A + x_B}{2};\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)}\)

\(\displaystyle{I \text{ } \left(\dfrac{3 + \left(-2\right)}{2};\dfrac{5 + 7}{2}\right)}\)

\(\displaystyle{I \text{ } \left(\dfrac{1}{2};\dfrac{12}{2}\right)}\)

\(\displaystyle{I \text{ } \left(\dfrac{1}{2};6\right)}\)

II

Les droites dans le repère

A

Les équations de droites

Equation d'une droite

On appelle équation d'une droite dans un repère une égalité vérifiée (uniquement) par les coordonnées \(\displaystyle{\left(x ; y\right)}\) de tous les points de cette droite.

Dans un repère, toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme : \(\displaystyle{y=mx+p}\)m et p sont deux nombres réels. Cette équation est appelée "équation réduite de la droite".

-

Si la droite est parallèle à l'axe des abscisses, c'est-à-dire "horizontale", alors une équation de la droite est du type \(\displaystyle{y=p}\).

C'est le cas particulier où \(\displaystyle{m=0}\).

-

Une droite parallèle à l'axe des ordonnées, c'est-à-dire "verticale", admet une équation de la forme \(\displaystyle{x=k}\), avec k réel.

-
B

Le coefficient directeur

Coefficient directeur

Soit D une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, d'équation \(\displaystyle{y = mx + p}\).
Le réel m est appelé coefficient directeur (ou pente) de la droite D.

La droite d'équation \(\displaystyle{y=\dfrac12x+6}\) a pour coefficient directeur \(\displaystyle{\dfrac12}\).

Ordonnée à l'origine

Avec les notations précédentes, le réel p de l'équation \(\displaystyle{y=mx+p}\) est appelé ordonnée à l'origine de la droite D.

La droite d'équation \(\displaystyle{y=\dfrac12x+6}\) a pour ordonnée à l'origine 6.

-

Une droite parallèle à l'axe des abscisses est une droite de pente nulle.

La droite d'équation \(\displaystyle{y=12}\) est parallèle à l'axe des abscisses et son coefficient directeur est égal à 0.

Coefficient directeur

Soient A et B deux points distincts d'une droite D non parallèle à l'axe des ordonnées. Le coefficient directeur m de la droite D est égal à :

\(\displaystyle{m =\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\)

-

La droite (d) ci-dessus passe par les points \(\displaystyle{A \left(3 ; 5\right)}\) et \(\displaystyle{B \left(−1 ; −4\right)}\). Son coefficient directeur est égal à :

\(\displaystyle{m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-4-5}{-1-3}=\dfrac94}\).

Trois points du plan A, B et C sont alignés si et seulement si les droites \(\displaystyle{\left( AB \right)}\) et \(\displaystyle{\left( AC \right)}\) ont le même coefficient directeur.

Soient A,B et C les points de coordonnés respectives \(\displaystyle{A\left( 1;3 \right)}\), \(\displaystyle{B\left( 2;5 \right)}\) et \(\displaystyle{C\left( 3;7 \right)}\).

Le coefficient directeur de la droite \(\displaystyle{\left( AB \right)}\) est : \(\displaystyle{m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{5-3}{2-1}=2}\)

Le coefficient directeur de la droite \(\displaystyle{\left( AC \right)}\) est : \(\displaystyle{n=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{7-3}{3-1}=\dfrac{4}{2}=2}\)

Les points A, B et C sont alignés car \(\displaystyle{m=n}\).

C

Les droites parallèles

Droites parallèles

Deux droites, non parallèles à l'axe des ordonnées, sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux.

Les droites (d) et (d') ci-dessous ont le même coefficient directeur, \(\displaystyle{-\dfrac13}\). Elles sont parallèles.

-

Deux droites parallèles sont confondues ou strictement parallèles.

Deux droites parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles entre elles.

Les droites d'équation \(\displaystyle{x=-3}\) et \(\displaystyle{x=5}\) sont parallèles, car elles sont toutes les deux parallèles à l'axe des ordonnées.

D

Systèmes et intersection de deux droites

Système et point d'intersection

Soient deux droites \(\displaystyle{D}\) et \(\displaystyle{D'}\), d'équations respectives \(\displaystyle{y = mx + p}\) et \(\displaystyle{y = m'x + p'}\).
Ces deux droites sont sécantes en un point si et seulement si le système suivant admet un unique couple solution \(\displaystyle{\left(x ; y\right)}\), qui correspond aux coordonnées du point d'intersection de \(\displaystyle{D}\) et \(\displaystyle{D'}\) :

\(\displaystyle{\begin{cases}y = mx + p \cr \cr y = m'x + p'\end{cases}}\)

Recherchons les coordonnées \(\displaystyle{\left( x;y \right)}\) du point d'intersection I des droites d'équation \(\displaystyle{y=\dfrac23x+2}\) et \(\displaystyle{y=-\dfrac13x+5}\).

Pour cela on résout le système formé par ces deux équations :

\(\displaystyle{\left(S\right):\begin{cases} y=\dfrac23x+2 \cr \cr y=-\dfrac13x+5 \end{cases}}\)

Les deux droites ont pour coefficients directeurs respectifs \(\displaystyle{\dfrac{2}{3}}\) et \(\displaystyle{-\dfrac{1}{3}}\). Or, \(\displaystyle{\dfrac{2}{3}\neq -\dfrac{1}{3}}\). Les droites sont donc bien sécantes.

Résolvons le système :

\(\displaystyle{\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac23x+2 \cr \cr \dfrac23x+2 =-\dfrac13x+5 \end{cases}}\)

On résout la deuxième équation :

\(\displaystyle{\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac23x+2 \cr \cr \dfrac23x+\dfrac13x =5-2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac23x+2 \cr \cr x=3 \end{cases}}\)

On remplace la valeur obtenue pour x dans la première équation :

\(\displaystyle{\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac{2}{3}\times3+2 \cr \cr x=3 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} y=4\cr \cr x=3 \end{cases}}\)

Par conséquent, le point I a pour coordonnées \(\displaystyle{\left(3 ; 4\right)}\).

-
  • Si les droites sont sécantes, le système admet un unique couple solution.
  • Si les droites sont strictement parallèles, le système n'admet pas de solution.
  • Si les droites sont confondues, le système admet une infinité de solutions.

Sommaire

ILe repérage dans le planALe repère orthonormalBLes coordonnées d'un pointCLa distanceDLes coordonnées du milieu d'un segmentIILes droites dans le repèreALes équations de droitesBLe coefficient directeurCLes droites parallèlesDSystèmes et intersection de deux droites