Soit \left(O;I;J\right) un repère orthonormal du plan.
On considère le point A\left(4;6\right) et la droite D d'équation : y=\dfrac{3}{2}x-6.
B est le point de D qui a la même ordonnée que A. C est l'intersection de D avec l'axe des abscisses \left(Ox\right). Enfin, soit H le pied de la hauteur du triangle ABC issue du sommet A.
Quelles sont les coordonnées des points B et C ?
Coordonnées du point B
L'ordonnée du point B est égale à celle du point A : on a donc B \left(x_{B};6\right).
De plus, B appartient à la droite D, ses coordonnées vérifient donc l'équation de D :
y_{B}=\dfrac{3}{2}x_{B}-6\Leftrightarrow6=\dfrac{3}{2}x_{B}-6\Leftrightarrow x_{B}=8
Coordonnées du point C
Le point C appartient à l'axe des abscisses (Ox), son ordonnée est donc égale à 0 : C \left(x_{C};0\right).
De plus, C appartient également à la droite D, ses coordonnées vérifient donc l'équation de D :
y_{C}=\dfrac{3}{2}x_{C}-6\Leftrightarrow0=\dfrac{3}{2}x_{C}-6\Leftrightarrow x_{C}=4
B \left(8;6\right) et C \left(4;0\right).
Quelle est l'aire du triangle ABC ?
On remarque que :
- Les points A et C ont même abscisse, donc la droite \left(AC\right) est parallèle à \left(Oy\right)
- Les points A et B ont même ordonnée, donc la droite \left(AB\right) est parallèle à \left(Ox\right)
On en déduit que les droites \left(AB\right) et \left(AC\right) sont perpendiculaires, et donc que le triangle ABC est rectangle en A.
Son aire est donc égale à : \mathcal{A}\left(ABC\right)=\dfrac{AB\times AC}{2}
Or on a :
- AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(6-6\right)^{2}+\left(8-4\right)^{2}}=\sqrt{16}=4
- AC=\sqrt{\left(x_{C}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{C}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(0-6\right)^{2}+\left(4-4\right)^{2}}=\sqrt{36}=6
On peut aussi calculer :
\mathcal{A}\left(ABC\right)=\dfrac{4\times 6}{2}=12
L'aire du triangle ABC est donc égale à 12.
Quelle est la valeur de la longueur AH ?
\left(AH\right) étant une hauteur du triangle ABC, on peut également exprimer l'aire de ABC de la manière suivante :
\mathcal{A}\left(ABC\right)=\dfrac{AH\times BC}{2}
Disposant des coordonnées des points B et C, il est aisé de calculer la longueur BC. Sachant que l'aire du triangle ABC est égale à 12, on pourra ainsi en déduire la longueur AH.
BC=\sqrt{16+36}=\sqrt{4\times13}=2\sqrt{13}
On a finalement :
\dfrac{AH\times 2\sqrt{13}}{2}=12\Leftrightarrow AH=\dfrac{12}{\sqrt{13}}
La longueur AH est donc égale à : \dfrac{12}{\sqrt{13}}.