Soit le repère orthonormal \left(O,I,J\right).
On considère les points : A\left( 3;0 \right), B \left( 0;3 \right), C\left( 7;0 \right) et D \left( 0;7 \right).
On appelle E le milieu du segment \left[ AB \right], F le milieu du segment \left[ DC \right], et G le point d'intersection des droites \left( AD \right) et \left( BC \right).
Déterminer les équations réduites des droites \left( AD \right) et \left( BC \right).
Pour déterminer l'équation réduite d'une droite, il suffit de connaître son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.
Equation de la droite \left(AD\right)
Sachant que les points A et D appartiennent à la droite \left(AD\right), le coefficient directeur de \left(AD\right) est donc égal à :
\dfrac{y_{D}-y_{A}}{x_{D}-x_{A}}=\dfrac{7-0}{0-3}=-\dfrac{7}{3}
De plus, l'ordonnée à l'origine de la droite \left(AD\right) est l'ordonnée de son point d'intersection avec l'axe des ordonnées \left(Oy\right). Or, le point D est le point de la droite \left(AD\right) dont l'abscisse est nulle : il est donc l'intersection de \left(AD\right) et \left(Oy\right).
L'ordonnée à l'origine de la droite \left(AD\right) est donc l'ordonnée du point D, c'est-à-dire 7.
Ainsi :
\left(AD\right):y=-\dfrac{7}{3}x+7
Equation de la droite \left(BC\right)
Sachant que les points B et C appartiennent à la droite \left(BC\right), le coefficient directeur de \left(BC\right) est donc égal à :
\dfrac{y_{C}-y_{B}}{x_{C}-x_{B}}=\dfrac{0-3}{7-0}=-\dfrac{3}{7}
De plus, l'ordonnée à l'origine de la droite \left(BC\right) est l'ordonnée de son point d'intersection avec l'axe des ordonnées \left(Oy\right). Or, le point B est le point de la droite \left(BC\right) dont l'abscisse est nulle : il est donc l'intersection de \left(BC\right) et \left(Oy\right).
L'ordonnée à l'origine de la droite \left(BC\right) est donc l'ordonnée du point B c'est-à-dire 3.
Ainsi :
\left(BC\right):y=-\dfrac{3}{7}x+3
On en déduit donc qu'une équation de la droite \left( AD \right) est y=-\dfrac{7}{3}x+7 et qu'une équation de la droite \left( BC \right) est y=-\dfrac{3}{7}x+3.
En déduire les coordonnées du point G.
Le point G est le point d'intersection des droites \left(AD\right) et \left(BC\right) ; il appartient donc aux deux droites. De ce fait, les coordonnées de G vérifient l'équation de chacune des droites, et donc le système suivant :
\begin{cases} y=-\dfrac{7}{3}x+7 \cr \cr y=-\dfrac{3}{7}x+3 \end{cases}
L'abscisse x de G vérifie donc la relation suivante :
-\dfrac{7}{3}x+7=-\dfrac{3}{7}x+3
\Leftrightarrow \dfrac{7}{3}x-\dfrac{3}{7}x=7-3
\Leftrightarrow \dfrac{40}{21}x=4
\Leftrightarrow x=\dfrac{21}{10}=2{,}1
Enfin, pour déterminer l'ordonnée du point G, il reste à remplacer la valeur de x qui vient d'être calculée dans l'équation d'une des deux droites :
y=-\dfrac{3}{7}\times\dfrac{21}{10}+3=\dfrac{21}{10}=2{,}1
Les coordonnées du point G sont donc : \left( 2{,}1;2{,}1 \right).
Calculer les coordonnées des points E et F.
Coordonnées de E
E étant le milieu du segment \left[ AB \right], ses coordonnées vérifient :
- x_{E}=\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}=\dfrac{3+0}{2}=\dfrac{3}{2}
- y_{E}=\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}=\dfrac{0+3}{2}=\dfrac{3}{2}
Les coordonnées du point E sont donc \left( \dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2} \right).
Coordonnées de F
De même, F étant le milieu du segment \left[ CD \right], ses coordonnées vérifient :
- x_{F}=\dfrac{x_{C}+x_{D}}{2}=\dfrac{7+0}{2}=\dfrac{7}{2}
- y_{F}=\dfrac{y_{C}+y_{D}}{2}=\dfrac{0+7}{2}=\dfrac{7}{2}
Les coordonnées du point F sont donc \left( \dfrac{7}{2};\dfrac{7}{2} \right).
E\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2} \right) et F\left( \dfrac{7}{2};\dfrac{7}{2} \right)
Conclure que les points O, E, G, F sont alignés.
En observant les coordonnées des points E, F et G, on remarque que l'abscisse et l'ordonnée respectives de chacun sont égales. Il en est de même pour le point O dont les coordonnées sont \left( 0;0 \right).
Les coordonnées de ces quatre points vérifient ainsi l'équation : y=x. Ils appartiennent donc tous à la droite d'équation y=x.
Les points O, E, G et F appartiennent tous à une même droite : ils sont donc alignés.