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Résoudre une équation de type ax+b=cx+d

Une équation du premier degré est une équation pouvant se ramener à \(\displaystyle{ax+b = cx +d}\).

Résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'équation suivante :

\(\displaystyle{-x+3 = 3x+5}\)

Etape 1

Mettre tous les termes du même côté de l'égalité

On met tous les termes du même côté de l'égalité pour se ramener à une équation du type \(\displaystyle{mx+p = 0}\).

On met tous les termes du même côté. Pour tout réel x :

\(\displaystyle{-x+3 = 3x+5}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow -x-3x+3 - 5=0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow -4x - 2=0}\)

Etape 2

Résoudre en isolant l'inconnue

On résout alors \(\displaystyle{mx+p =0}\).

On distingue plusieurs cas :

  • Si \(\displaystyle{m= 0}\) et \(\displaystyle{p\neq0}\), alors l'équation n'admet pas de solution (la division par 0 est impossible).
  • Si \(\displaystyle{m=p = 0}\), alors l'équation est vérifiée pour tout \(\displaystyle{x \in \mathbb{R}}\).
  • Si \(\displaystyle{m \neq 0}\), alors \(\displaystyle{mx = -p\Leftrightarrow x =- \dfrac{p}{m}}\).

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{-4x - 2=0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x = \dfrac{2}{-4}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x = -\dfrac{1}{2}}\)

On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation est :

\(\displaystyle{S = \left\{ -\dfrac{1}{2}\right\}}\)

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