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Résoudre une équation produit

Une équation produit est une équation qui se ramène à un produit de facteur nul, donc du type : \(\displaystyle{A \times B = 0}\).

Résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'équation suivante :

\(\displaystyle{\left(2x-5\right) \left(x+1\right) = -1-x}\)

Etape 1

Passer tous les termes du même côté de l'égalité

Si nécessaire, on passe tous les termes du même côté de l'égalité.

On passe tous les termes de l'équation du même côté. Pour tout réel x :

\(\displaystyle{\left(2x-5\right) \left(x+1\right) = -1-x}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \left(2x-5\right) \left(x+1\right) +1+x= 0}\)

Etape 2

Factoriser

Si nécessaire, on factorise pour que l'équation se ramène à un produit de facteur nul.

L'équation n'est pas sous la forme d'un produit de facteur nul, on la factorise donc. Pour tout réel x :

\(\displaystyle{\left(2x-5\right) \left(x+1\right) +1+x= 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \left(2x-5\right) \left(x+1\right) +\left(x+1\right)= 0}\)

On remarque que \(\displaystyle{\left(x+1\right)}\) est un facteur commun. Ainsi, pour tout réel x :

\(\displaystyle{\left(2x-5\right) \left(x+1\right) +\left(x+1\right)= 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \left(x+1\right) \left[ \left(2x-5\right) +1 \right]=0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \left(x+1\right)\left(2x-4\right)=0}\)

Etape 3

Réciter le cours

On récite le cours : "un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs au moins est nul."

Ainsi :

\(\displaystyle{A \times B = 0 \Leftrightarrow A = 0 \; ou \; B =0}\)

Un produit de facteurs est nul si et seulement l'un de ses facteurs au moins est nul.

Donc, pour tout réel x :

\(\displaystyle{\left(1+x\right) \left(2x-4\right) =0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow 1+x = 0 \; ou \; 2x-4 = 0}\)

Etape 4

Résoudre

On résout chacune des deux équations et on donne les solutions.

On résout chacune des deux équations. Pour tout réel x :

\(\displaystyle{1+x = 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x= -1}\)

De plus, pour tout réel x :

\(\displaystyle{2x-4 =0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x= 2}\)

On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation est :

\(\displaystyle{S = \left\{ -1 ; 2\right\}}\)

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