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Reconnaître une fonction homographique

Une fonction homographique est une fonction qui admet une expression de la forme \(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{ax+b}{cx+d}}\), avec \(\displaystyle{c\neq0}\) et \(\displaystyle{ad-bc\neq0}\).

On est donc capable de déterminer si une fonction est homographique ou non.

On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{5}{2} \right\}}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = 2+\dfrac{3x}{2x-5}}\)

f est-elle une fonction homographique ?

Etape 1

Mettre la fonction sous forme de quotient

Si ce n'est pas déjà le cas, on met la fonction sous forme d'un seul quotient.

La fonction f est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{5}{2} \right\}}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = 2+\dfrac{3x}{2x-5}}\)

On met les deux termes sur le même dénominateur. Pour tout réel x différent de \(\displaystyle{\dfrac{5}{2}}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{2\left(2x-5\right)}{2x-5}+\dfrac{3x}{2x-5}}\)

\(\displaystyle{f\left(x\right) =\dfrac{4x-10+3x}{2x-5}}\)

Finalement :

\(\displaystyle{f\left(x\right) =\dfrac{7x-10}{2x-5}}\)

Etape 2

Rappeler la forme d'une fonction homographique

On rappelle le cours : f est une fonction homographique s'il existe quatre nombres réels a, b, c et d avec \(\displaystyle{c \neq 0}\) et \(\displaystyle{ad-bc \neq 0}\) tels que \(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{ax+b}{cx+d}}\).

f est une fonction homographique s'il existe quatre nombres réels a, b, c et d avec \(\displaystyle{c \neq 0}\) et \(\displaystyle{ad-bc \neq 0}\) tels que \(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{ax+b}{cx+d}}\).

Etape 3

Conclure

On détermine si f respecte les conditions précédentes. On conclut en disant si la fonction f est homographique ou non.

f est de la forme \(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{ax+b}{cx+d}}\), avec \(\displaystyle{a = 7}\), \(\displaystyle{b=-10}\), \(\displaystyle{c = 2}\) et \(\displaystyle{d = -5}\).

De plus :

  • \(\displaystyle{c = 2}\) donc \(\displaystyle{c \neq 0}\)
  • \(\displaystyle{7 \times \left(-5\right) - \left(-10\right) \times 2 =-35+20 = -15}\) donc \(\displaystyle{ad - bc \neq 0}\)

On en conclut que la fonction f est une fonction homographique.

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