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Résoudre une inéquation du type ax+b<cx+d

Une inéquation du type \(\displaystyle{ax+b \lt cx+d}\) admet un intervalle solution sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Le symbole \(\displaystyle{\lt}\) peut être remplacé par : \(\displaystyle{\gt}\), \(\displaystyle{\leqslant}\) ou \(\displaystyle{\geqslant}\).

Résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'inéquation \(\displaystyle{2x+3 \lt -x+1}\).

Etape 1

Passer tous les termes du même côté de l'inégalité

On passe tous les termes du même côté de l'inégalité afin de se ramener à une inéquation du type \(\displaystyle{mx+p \gt 0}\).

On passe tous les termes du même côté de l'inégalité. Pour tout réel x :

\(\displaystyle{2x+3 \lt -x+1}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow 2x+3+x-1 \lt 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow 3x+2 \lt 0}\)

Etape 2

Résoudre en isolant l'inconnue

On résout ensuite l'inéquation \(\displaystyle{mx+p \gt 0}\).

\(\displaystyle{mx+p \gt 0 \Leftrightarrow mx \gt -p}\)

Ensuite, trois cas sont possibles en fonction des valeurs de m :

  • si \(\displaystyle{m \gt 0}\), \(\displaystyle{mx+p \gt 0 \Leftrightarrow x \gt -\dfrac{p}{m}}\)
  • si \(\displaystyle{m \lt 0}\), \(\displaystyle{mx+p \gt 0 \Leftrightarrow x \lt -\dfrac{p}{m}}\)
  • si \(\displaystyle{ m = 0}\) l'inéquation devient \(\displaystyle{p \gt 0}\). Si p est effectivement positif, l'inéquation est vérifiée pour tout x de \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). Si \(\displaystyle{p \lt 0}\) alors l'inéquation n'admet pas de solution dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Lorsque l'on divise ou multiplie les deux membres de l'inégalité par une valeur négative, le sens de l'inégalité change.

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{2x \gt 3 \Leftrightarrow x \gt \dfrac{3}{2}}\)

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{-3x\gt 8\Leftrightarrow x \lt -\dfrac{8}{3}}\)

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{3x+2 \lt 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow 3x \lt -2}\)

Et, comme \(\displaystyle{3 \gt 0}\), pour tout réel x :

\(\displaystyle{3x \lt -2}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x \lt -\dfrac{2}{3}}\)

On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

\(\displaystyle{S = \left]- \infty ; -\dfrac{2}{3} \right[}\)

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