Seconde 2015-2016
Kartable
Seconde 2015-2016

Les fonctions usuelles

I

Les fonctions affines

A

Définition

Fonction affine

Une fonction affine est une fonction qui, à tout réel x, associe le réel ax+b, où a et b sont des réels fixes. On note alors, pour tout réel x :

f(x)=ax+b

La fonction f(x)=2x+5 est une fonction affine.

Toute fonction affine est définie sur .

B

Sens de variation et signe d'une fonction affine

Si a<0, f est strictement décroissante sur .

-
-

La fonction affine f(x)=x+1 représentée ci-dessus est une fonction décroissante car a=1<0. Elle est positive sur ],1] et négative sur ]1,+[ car ba=1.

Si a>0, f est strictement croissante sur .

-
-

La fonction affine f(x)=x+1 représentée ci-dessus est une fonction croissante car a=1>0. Elle est négative sur ],1] et positive sur ]1,+[ car ba=1.

Si a est non nul, l'équation f(x)=0 admet pour seule solution x=ba.

ba est donc le seul antécédent de 0 par f.

Si a=0, f est constante sur .

-

La fonction représentée ci-dessus définie pour tout réel x par f(x)=3 est une fonction constante.

C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction affine est la droite d'équation y=ax+b.

Coefficient directeur et ordonnée à l'origine

La courbe représentative d'une fonction affine, d'équation y=ax+b, a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l'origine b.

La droite d'équation y=78x45 a pour coefficient directeur 78 et pour ordonnée à l'origine −45.

  • Si a=0, la fonction est constante et l'image de n'importe quel réel est b. Sa droite représentative est "horizontale" (parallèle à l'axe des abscisses).
  • Si b=0, la fonction est dite linéaire, et sa droite représentative passe par l'origine du repère.

Soit f une fonction affine définie par f(x)=ax+b pour laquelle on ne connaît ni la valeur de a ni la valeur de b. Si on connaît l'image par f de deux réels distincts x1 et x2, notées f(x1)=y1 et f(x2)=y2, on peut déterminer a puis b :

a=f(x2)f(x1)x2x1

b=f(x1)ax1 ou b=f(x2)ax2

f est une fonction affine définie par f(3)=2 et f(8)=7. On peut calculer le coefficient directeur :

a=f(8)f(3)83=7283=95

On en déduit alors l'ordonnée à l'origine :

b=f(3)3a=23×(95)=2+275=375

II

La fonction carré

Fonction carré

La fonction carré est la fonction définie sur par :

f(x)=x2

La fonction carré est strictement décroissante sur ],0] et strictement croissante sur [0,+[.

-

La courbe représentative de la fonction carré est une parabole dont le sommet est l'origine O du repère.

-

La fonction carré est toujours positive ou nulle.

La fonction carré est une fonction paire. Autrement dit, son ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 et, pour tout réel x, f(x)=f(x).

Notons f la fonction carré. f étant paire, on a :

  • f(5)=f(5)
  • f(3)=f(3)
  • f(10)=f(10)

Le tableau suivant donne quelques images de réels par la fonction carré :

x−4−3−2−101234
x216941014916

La fonction carré étant paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

  • Pour tous réels a et b, si a<b<0, alors a2>b2
  • Pour tous réels a et b, si 0<a<b, alors a2<b2

On peut donc dire que le passage au carré :

  • "Inverse l'ordre" avec les nombres négatifs.
  • "Conserve l'ordre" avec les nombres positifs.
III

La fonction inverse

A

Définition

Fonction inverse

La fonction inverse est la fonction f définie sur par :

f(x)=1x

B

Le sens de variation

La fonction inverse est strictement décroissante sur ],0[ et sur ]0,+[.

-
  • Pour tous réels a et b, si a<b<0, 1a>1b
  • Pour tous réels a et b, si 0<a<b, 1a>1b
C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole dont le centre est l'origine O du repère.

-

La fonction inverse est impaire. Autrement dit :

  • Son ensemble de définition, , est centré en 0.
  • Pour tout réel x non nul, f(x)=f(x)

Dans un repère du plan, la courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l'origine du repère.

IV

Les polynômes du second degré

Polynôme du second degré

Une fonction f définie sur dont l'expression peut s'écrire sous la forme f(x)=ax2+bx+c, où a, b et c sont des réels tels que a0, est appelée fonction polynôme du second degré ou trinôme.

La fonction définie pour tout réel x par f(x)=2x26x+1 est une fonction polynôme du second degré avec a=2, b=6 et c=1.

Parabole

La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est appelée parabole.

Sommet d'une parabole

On appelle sommet de la parabole le point S marquant l'extremum de la fonction.

Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression f(x)=ax2+bx+c (avec a0 ).

  • Si a>0, la parabole représentant f est orientée "vers le haut", autrement dit la fonction f est d'abord décroissante, puis croissante.
  • Si a<0, la parabole représentant f est orientée "vers le bas", autrement dit la fonction f est d'abord croissante, puis décroissante.

Voici les courbes représentatives de plusieurs fonctions polynôme du second degré, avec a>0.

-

Voici les courbes représentatives de plusieurs fonctions polynôme du second degré, avec a<0.

-

L'expression de toute fonction polynôme du second degré f(x)=ax2+bx+c peut s'écrire, de façon unique, sous la forme :

f(x)=a(xα)2+β

α et β sont des réels et a est le coefficient de x2.

Cette forme est appelée forme canonique de f(x). Dans ce cas, le sommet S de la parabole représentative de f a pour coordonnées (α;β).

On obtient :

  • α=b2a
  • β est la valeur de l'extremum, c'est-à-dire β=f(α)

Soit f la fonction polynôme du second degré d'expression f(x)=2x24x6. On sait que la forme canonique de f(x) est du type :

f(x)=2(xα)2+β

Avec :

  • α=b2a
  • β=f(α)

Ici, on obtient :

  • α=44=1
  • β=f(1)=2×124×16=8

Ici, la forme canonique de f(x) est donc :

f(x)=2(x1)28

Le sommet de la parabole représentative d'un trinôme du second degré est alors S(α;β).

V

Les fonctions homographiques

Fonction homographique

Une fonction f est dite homographique si f(x) peut s'écrire comme le quotient d'expressions de deux fonctions affines.

Autrement dit, si f est une fonction homographique, il existe des réels a, b, c et d, avec c0 et adbc0, tels que :

f(x)=ax+bcx+d

La fonction f(x)=2x+1x5 est une fonction homographique avec a=2, b=1, c=1 et d=5.

La fonction inverse définie par f(x)=1x est une fonction homographique avec a=0, b=1, c=1 et d=0.

Soit f une fonction homographique d'expression f(x)=ax+bcx+d. f est alors définie sur :

{dc}=];dc[]dc;+[

La courbe représentative d'une fonction homographique est appelée une hyperbole.

VI

Les enchaînements

Enchaînement de fonctions

Décrire un enchaînement de fonctions permettant de passer de x à f(x) revient à détailler l'ensemble des opérations successives à appliquer sur x pour obtenir f(x). On construit ainsi par étapes la fonction finale à partir de fonctions de référence.

La fonction f, définie pour tout réel x par f(x)=(x+1)25, est construite par enchaînement de la fonction affine xx+1, de la fonction carrée, et de la fonction affine xx5 :

xx+1(x+1)2(x+1)25

pub

Demandez à vos parents de vous abonner

Vous ne possédez pas de carte de crédit et vous voulez vous abonner à Kartable.

Vous pouvez choisir d'envoyer un SMS ou un email à vos parents grâce au champ ci-dessous. Ils recevront un récapitulatif de nos offres et pourront effectuer l'abonnement à votre place directement sur notre site.

J'ai une carte de crédit

Vous utilisez un navigateur non compatible avec notre application. Nous vous conseillons de choisir un autre navigateur pour une expérience optimale.