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Donner le domaine de définition d'une fonction homographique

En présence d'une fonction homographique f d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{ax+b}{cx+d}}\), il faut avant tout déterminer son ensemble de définition.

Donner l'ensemble de définition de la fonction homographique f définie par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{2x-1}{2x-\dfrac{2}{3}}}\)

Etape 1

Rappeler que le dénominateur doit être non nul

On rappelle que la fonction est définie uniquement lorsque son dénominateur est non nul.

f est une fonction homographique d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{2x-1}{2x-\dfrac{2}{3}}}\).

\(\displaystyle{f\left(x\right)}\) existe si et seulement si \(\displaystyle{2x-\dfrac{2}{3}\neq0}\).

Etape 2

Résoudre l'équation

On résout dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'équation \(\displaystyle{cx+d=0}\).

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{2x - \dfrac{2}{3} = 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow 2x = \dfrac{2}{3} }\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3} }\)

Etape 3

Conclure sur le domaine de définition

On conclut en donnant le domaine de définition de la fonction f.

On en déduit que la fonction f est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{1}{3} \right\}}\).

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