Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-x^3+4x^2-2x+1
Quelles sont les équations des tangentes à C_f parallèles à la droite d'équation y=5x+1 ?
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-4x^2-5x+3
Quelles sont les équations des tangentes à C_f dont le coefficient directeur est 3 ?
Le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse x est f'\left(x\right). Or on cherche les éventuelles tangentes à C_f de coefficient directeur 3.
On cherche donc les solutions de l'équation : f'\left(x\right)=3.
Calcul de f'\left(x\right)
f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=-8x-5
Résolution de f'\left(x\right)=3
f'\left(x\right)=3
\Leftrightarrow-8x-5=3
\Leftrightarrow-8x=8
\Leftrightarrow x=-1
Détermination de l'équation de la tangente
D'après le résultat précédent, la tangente recherchée est celle qui a pour abscisse -1.
T_{-1}:y=f'\left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)+f\left(-1\right)
Or :
- f'\left(-1\right)=3 (d'après ce qui précède)
- f\left(-1\right)=-4\times\left(-1\right)^2-5\times\left(-1\right)+3=-4+5+3=4
Ainsi :
T_{-1}:y=3\left(x+1\right)+4
T_{-1}:y=3x+7
C_f admet une tangente qui a pour coefficient directeur 3, c'est la tangente au point d'abscisse -1 qui a pour équation y=3x+7.
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-2x^3+x^2-3x+5
Quelles sont les équations des tangentes à C_f parallèles à la droite d'équation y=-2x-5 ?
Comme on cherche des tangentes parallèles à la droite d'équation y=-2x-5, ces tangentes ont forcément pour coefficient directeur -2. En effet, deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.
Le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse x est f'\left(x\right). Or on cherche les éventuelles tangentes à C_f de coefficient directeur -2.
On cherche donc les solutions de l'équation : f'\left(x\right)=-2.
Calcul de f'\left(x\right)
f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=-6x^2+2x-3
Résolution de f'\left(x\right)=-2
f'\left(x\right)=-2
\Leftrightarrow-6x^2+2x-3=-2
\Leftrightarrow-6x^2+2x-1=0
Il s'agit d'une équation du second degré que l'on peut résoudre en calculant son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times\left(-6\right)\times\left(-1\right)=4-24=-20
\Delta\lt0, donc l'équation n'admet pas de solution.
Ainsi pour aucune valeur de x, f'\left(x\right)=-2
C_f n'admet pas de tangente parallèle à la droite d'équation y=-2x-5.
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=2x^2-5x+3
Quelles sont les équations des tangentes à C_f dont le coefficient directeur est 7 ?
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=3x^2-2x-4
Quelles sont les équations des tangentes à C_f dont le coefficient directeur est 10 ?
Le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse x est f'\left(x\right). Or on cherche les éventuelles tangentes à C_f de coefficient directeur 10.
On cherche donc les solutions de l'équation : f'\left(x\right)=10.
Calcul de f'\left(x\right)
f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=6x-2
Résolution de f'\left(x\right)=10
f'\left(x\right)=10
\Leftrightarrow6x-2=10
\Leftrightarrow6x=12
\Leftrightarrow x=2
Détermination de l'équation de la tangente
D'après le résultat précédent, la tangente recherchée est celle qui a pour abscisse 2.
T_2:y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)
Or :
- f'\left(2\right)=10 (d'après ce qui précède)
- f\left(2\right)=3\times2^2-2\times2-4=12-4-4=4
Ainsi :
T_2:y=10\left(x-2\right)+4
T_2:y=10x-16
C_f admet une tangente qui a pour coefficient directeur 10, c'est la tangente au point d'abscisse 2 qui a pour équation y=10x-16.