Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=2x^3-3x^2-5x+1
Quelles sont les équations des tangentes à C_f parallèles à la droite d'équation y=7x-1 ?
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=x^3+2x^2+5x-3
Quelles sont les équations des tangentes à C_f parallèles à la droite d'équation y=4x+1 ?
Comme on cherche des tangentes parallèles à la droite d'équation y=4x+1, ces tangentes ont forcément pour coefficient directeur 4. En effet, deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.
Le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse x est f'\left(x\right). Or on cherche les éventuelles tangentes à C_f de coefficient directeur 4.
On cherche donc les solutions de l'équation : f'\left(x\right)=4.
Calcul de f'\left(x\right)
f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=3x^2+4x+5
Résolution de f'\left(x\right)=4
f'\left(x\right)=4
\Leftrightarrow3x^2+4x+5=4
\Leftrightarrow3x^2+4x+1=0
Il s'agit d'une équation du second degré que l'on peut résoudre en calculant son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=4^2-4\times3\times1=16-12=4
\Delta\gt0, donc l'équation admet deux solutions réelles :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2\times3}=\dfrac{-4-2}{6}=\dfrac{-6}{6}=-1
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2\times3}=\dfrac{-4+2}{6}=\dfrac{-2}{6}=-\dfrac{1}{3}
Détermination des équations des tangentes
D'après le résultat précédent, la première tangente recherchée est celle qui a pour abscisse -1.
T_{-1}:y=f'\left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)+f\left(-1\right)
Or :
- f'\left(-1\right)=4 (d'après ce qui précède)
- f\left(-1\right)=\left(-1\right)^3+2\times\left(-1\right)^2+5\times\left(-1\right)-3=-1+2-5-3=-7
Ainsi :
T_{-1}:y=4\left(x+1\right)-7
T_{-1}:y=4x-3
La deuxième tangente recherchée est celle qui a pour abscisse -\dfrac{1}{3}.
T_{-\frac{1}{3}}:y=f'\left(-\dfrac{1}{3}\right)\left(x-\left(-\dfrac{1}{3}\right)\right)+f\left(-\dfrac{1}{3}\right)
Or :
- f'\left(-\dfrac{1}{3}\right)=4 (d'après ce qui précède)
- f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3+2\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+5\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)-3=-\dfrac{1}{27}+\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{3}-3=-\dfrac{1}{27}+\dfrac{6}{27}-\dfrac{45}{27}-\dfrac{81}{27}=-\dfrac{121}{27}
Ainsi :
T_{-\frac{1}{3}}:y=4\left(x+\dfrac{1}{3}\right)-\dfrac{121}{27}
T_{-\frac{1}{3}}:y=4x+\dfrac{36}{27}-\dfrac{121}{27}
T_{-\frac{1}{3}}:y=4x-\dfrac{85}{27}
C_f admet deux tangentes parallèles à la droite d'équation y=4x+1
- L'une au point d'abscisse -1 qui a pour équation : y=4x-3
- L'autre au point d'abscisse -\dfrac{1}{3} qui a pour équation : y=4x-\dfrac{85}{27}
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-x^2+5x+3
Quelles sont les équations des tangentes à C_f dont le coefficient directeur est 3 ?
Le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse x est f'\left(x\right). Or on cherche les éventuelles tangentes à C_f de coefficient directeur 3.
On cherche donc les solutions de l'équation : f'\left(x\right)=3.
Calcul de f'\left(x\right)
f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=-2x+5
Résolution de f'\left(x\right)=3
f'\left(x\right)=3
\Leftrightarrow-2x+5=3
\Leftrightarrow-2x=-2
\Leftrightarrow x=1
Détermination de l'équation de la tangente
D'après le résultat précédent, la tangente recherchée est celle qui a pour abscisse 1.
T_1:y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)
Or :
- f'\left(1\right)=3 (d'après ce qui précède)
- f\left(1\right)=-1^2+5\times1+3=-1+5+3=7
Ainsi :
T_1:y=3\left(x-1\right)+7
T_1:y=3x+4
C_f admet une tangente qui a pour coefficient directeur 3, c'est la tangente au point d'abscisse 1 qui a pour équation y=3x+4.
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-3x^2+4x+3
Quelles sont les équations des tangentes à C_f dont le coefficient directeur est 4 ?