Une urne contient 20 boules indiscernable au toucher. Parmi ces boules, 12 sont noires, 6 sont blanches et 2 sont rouges.
Le joueur mise 5 € et tire une boule au hasard, sans voir ce qu'il fait.
- S'il tire une boule rouge, il gagne 10 €.
- S'il tire une boule blanche, il gagne 2 €.
- Sinon, il ne gagne rien.
Quelle est la variance du gain algébrique du joueur ?
Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues. Soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1; x_2 ; x_3. On appelle espérance de la variable X le nombre réel, noté E(X), et V(X) sa variance.
- E(X)=P(X=x_1)\times x_1+P(X=x_2)\times x_2+P(X=x_3)\times x_3
- V(X)= P(X=x_1) \times \left(x_1-E(X)\right)^2 + P(X=x_2) \times \left(x_2-E(X)\right)^2 + P(X=x_3) \times \left(x_3-E(X)\right)^2
On a la loi de probabilité de X suivante :
- P(X=5) = \dfrac{2}{20} ;
- P(X = -3) = \dfrac{6}{20} ;
- P(X = -5) = \dfrac{12}{20}.
L'espérance du gain algébrique est :
E(G)=5\times \dfrac{2}{20}+(-3)\times \dfrac{6}{20}+(-5)\times \dfrac{12}{20}=-\dfrac{68}{20}.
La variance du gain algébrique est donc :
V(X)= \dfrac{2}{20} \times \left(5 + \dfrac{68}{20}\right)^2 + \dfrac{6}{20} \times \left(-3 + \dfrac{68}{20}\right)^2 + \dfrac{12}{20}\times \left(-5 + \dfrac{68}{20}\right)^2
V(X)= \dfrac{2}{20} \times \left(\dfrac{168}{20}\right)^2 + \dfrac{6}{20} \times \left(\dfrac{8}{20}\right)^2 + \dfrac{12}{20}\times \left(-\dfrac{32}{20}\right)^2
V(X)= \dfrac{56448}{8000} + \dfrac{384}{8000} + \dfrac{12288}{8000}
V(X)= \dfrac{69120}{8000}
V(G)=8{,}64
La loi de probabilité d'une variable aléatoire X est donnée par le tableau ci-dessous :
| x_i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P(X=x_i) | \dfrac{1}{10} | \dfrac{3}{10} | \dfrac{2}{5} | \dfrac{1}{10} | \dfrac{1}{10} |
Quelle est la variance de la variable aléatoire X ?
Si X est une variable aléatoire prend les valeurs x_1, x_2, \dots, x_n avec une probabilité respective p_1, p_2, \dots, p_n, alors l'espérance de la variable aléatoire X est :
E(X)=x_1\times p_1+x_2\times p_2+\dots+x_n\times p_n
La variance de la variable aléatoire X est :
V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2
Soit :
V(X)= x_1^2\times p_1+x_2^2\times p_2+\dots+x_n^2\times p_n -E(X)^2
Ici, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est donnée dans le tableau.
On obtient :
E(X)=0\times \dfrac{1}{10}+1\times \dfrac{3}{10}+2\times \dfrac{2}{5}+3\times \dfrac{1}{10}+4\times \dfrac{1}{10}=1{,}8
La variance de la variable X est donc :
V(X)= 0^2\times \dfrac{1}{10}+1^2\times \dfrac{3}{10}+2^2\times \dfrac{2}{5}+3^2\times \dfrac{1}{10}+4^2\times \dfrac{1}{10}-1{,}8^2
V(X)=1{,}16
La loi de probabilité d'une variable aléatoire X est donnée par le tableau ci-dessous :
| x_i | -50 | 50 | 100 | 150 |
| P(X=x_i) | 0,16 | 0,27 | 0,34 | 0,23 |
Quelle est la variance de la variable aléatoire X ?
Si X est une variable aléatoire prend les valeurs x_1, x_2, \dots, x_n avec une probabilité respective p_1, p_2, \dots, p_n, alors l'espérance de la variable aléatoire X est :
E(X)=x_1\times p_1+x_2\times p_2+\dots+x_n\times p_n
La variance de la variable aléatoire X est :
V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2
Soit :
V(X)= x_1^2\times p_1+x_2^2\times p_2+\dots+x_n^2\times p_n -E(X)^2
Ici, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est donnée dans le tableau.
On obtient :
E(X)=(-50)\times 0{,}16+50\times 0{,}27+100\times 0{,}34+150\times 0{,}23=74
La variance de la variable X est donc :
V(X)= )=(-50) ^2\times 0{,}16+50^2\times 0{,}27+100^2\times 0{,}34+150^2\times 0{,}23-74^2
V(X)=\text{4 174}
Un élève répond au hasard à un QCM de trois questions.
Chaque question comporte quatre propositions dont une seule est correcte.
On note X le nombre de réponses correctes obtenues par l'élève.
On obtient alors la loi de probabilité suivante pour X :
| x_i | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P(X=x_i) | \dfrac{27}{64} | \dfrac{27}{64} | \dfrac{9}{64} | \dfrac{1}{64} |
Quelle est la variance de la variable aléatoire X ?
Si X est une variable aléatoire prend les valeurs x_1, x_2, \dots, x_n avec une probabilité respective p_1, p_2, \dots, p_n, alors l'espérance de la variable aléatoire X est :
E(X)=x_1\times p_1+x_2\times p_2+\dots+x_n\times p_n
La variance de la variable aléatoire X est :
V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2
Soit :
V(X)= x_1^2\times p_1+x_2^2\times p_2+\dots+x_n^2\times p_n -E(X)^2
Ici, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est donnée dans le tableau.
On obtient :
E(X)=0\times \dfrac{27}{64}+1\times \dfrac{27}{64}+2\times \dfrac{9}{64}+3\times \dfrac{1}{64}=\dfrac{48}{64}=\dfrac{3}{4}
La variance de la variable X est donc :
0^2\times \dfrac{27}{64}+1^2\times \dfrac{27}{64}+2^2\times \dfrac{9}{64}+3^2\times \dfrac{1}{64}-\left(\dfrac{3}{4}\right)^2
V(X)=\dfrac{9}{16}
Un joueur lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Ce dé est truqué de la façon suivante : chaque face a une probabilité d'être obtenue proportionnelle au numéro inscrit sur la face.
On note X la face obtenue par le joueur.
On obtient alors la loi de probabilité suivante pour X :
| x_i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P(X=x_i) | \dfrac{1}{21} | \dfrac{2}{21} | \dfrac{3}{21} | \dfrac{4}{21} | \dfrac{5}{21} | \dfrac{6}{21} |
Quelle est la variance de la variable aléatoire X ?
Si X est une variable aléatoire prend les valeurs x_1, x_2, \dots, x_n avec une probabilité respective p_1, p_2, \dots, p_n, alors l'espérance de la variable aléatoire X est :
E(X)=x_1\times p_1+x_2\times p_2+\dots+x_n\times p_n
La variance de la variable aléatoire X est :
V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2
Soit :
V(X)= x_1^2\times p_1+x_2^2\times p_2+\dots+x_n^2\times p_n -E(X)^2
Ici, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est donnée dans le tableau.
On obtient :
E(X)=1\times \dfrac{1}{21}+2\times \dfrac{2}{21}+3\times \dfrac{3}{21}+4\times \dfrac{4}{21}+5\times \dfrac{5}{21}+6\times \dfrac{6}{21}=\dfrac{91}{21}
La variance de la variable X est donc :
1^2\times \dfrac{1}{21}+2^2\times \dfrac{2}{21}+3^2\times \dfrac{3}{21}+4^2\times \dfrac{4}{21}+5^2\times \dfrac{5}{21}+6^2\times \dfrac{6}{21}-\left(\dfrac{91}{21}\right)^2
V(X)=\dfrac{20}{9}