Démontrer le théorème de König-Huygens Problème

Dernière modification : 12/05/2025 - Conforme au programme 2025-2026

Le théorème de König-Huygens est le suivant :

Soit X une variable aléatoire :
V(X) = E(X^2) -[E(X)]^2)

On va démontrer ce théorème.

Pour cela, on considère une variable aléatoire d'univers \Omega = \{x_1,...,x_n \} telle que :
\forall i \in {1,...,n} P(X=x_i) = p_i

Quelle est la formule définissant la variance de X avec les notations de l'exercice ?

V(X) = \sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2

V(X) = \sum_{i=1}^n p_i(x_i)^2

V(X) = \sum_{i=1}^n p_ix_i

V(X) = \sum_{i=1}^n x_i(p_i-E(X))^2

En développant le carré sous la somme, sous quelle forme peut-on développer V(X) pour faire apparaître trois sommes ?

V(X) = \sum_{i=1}^n p_ix_i^2 − 2 E(X) \sum_{i=1}^n p_ix_i + [E(X)]^2\sum_{i=1}^n p_i

V(X) = \sum_{i=1}^n p_ix_i^2 + 2 E(X) \sum_{i=1}^n p_ix_i + [E(X)]^2\sum_{i=1}^n p_i

V(X) = \sum_{i=1}^n p_ix_i^2 + E(X) \sum_{i=1}^n p_ix_i - [E(X)]^2\sum_{i=1}^n p_i

V(X) = \sum_{i=1}^n p_ix_i^2 2 E(X) \sum_{i=1}^n p_ix_i −2 [E(X)]^2\sum_{i=1}^n p_i

Quelle est la valeur de \sum_{i=1}^n p_ix_i ?

\sum_{i=1}^n p_ix_i = E(X)

\sum_{i=1}^n p_ix_i = E(X^2)

\sum_{i=1}^n p_ix_i = V(X)

\sum_{i=1}^n p_ix_i = [E(X^2)]^2

Quelle est la valeur de \sum_{i=1}^n p_i ?

\sum_{i=1}^n p_i = 1

\sum_{i=1}^n p_i = V(X)

\sum_{i=1}^n p_i = E(X)

\sum_{i=1}^n p_i = 4