Lors d'une fête foraine, un stand propose un jeu de hasard. Pour jouer, il faut miser 10 €.
Le jeu est très simple. Il faut piocher une boule dans une urne, le gain dépend de la couleur de la boule piochée.
Dans l'urne, il y a 1 boule noire qui rapporte 0 €, 5 boules bleues qui rapportent 5 €, 3 boules rouges qui rapportent 10 € et 1 boule blanche qui rapporte 50 €.
On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du jeu.
On veut savoir s'il est intéressant de jouer ou non.
Quel est l'univers \Omega de la variable aléatoire X ?
L'univers de la variable aléatoire X est l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable X.
X est le gain algébrique du jeu, c'est-à-dire le gain moins la mise de départ.
La mise de départ est de 10 € et les gains possibles sont de 0 €, 5 €, 10 € et 50 €.
Donc \Omega = \{-10,-5{,}0{,}40\}.
Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ?
Afin de déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X, il faut déterminer la probabilité de tous les événements X=x_i avec x_i \ in \Omega.
L'événement X=-10 correspond au cas où le joueur tire une boule noire.
Or, il y a une boule noire parmi les 10 boules de l'urne, donc :
P(X=-10) = \dfrac{1}{10}
L'événement X=-5 correspond au cas où le joueur tire une boule bleu.
Or, il y a 5 boules bleues parmi les 10 boules de l'urne, donc :
P(X=-5) = \dfrac{5}{10}
L'événement X=0 correspond au cas où le joueur tire une boule rouge.
Or, il y a 3 boules rouges parmi les 10 boules de l'urne, donc :
P(X=0) = \dfrac{3}{10}
L'événement X=40 correspond au cas où le joueur tire une boule blanche. Or, il y a 1 boule blanche parmi les 10 boules de l'urne, donc :
P(X=40) = \dfrac{1}{10}
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est donc :
| x_i | -10 | -5 | 0 | 40 |
| P(X=x_i) | \dfrac{1}{10} | \dfrac{5}{10} | \dfrac{3}{10} | \dfrac{1}{10} |
Quelle est l'espérance de la variable aléatoire X ?
L'espérance d'une variable aléatoire est définie par la formule suivante :
E(X) = \sum_{\omega \space in \space \Omega} \omega P(X=\omega)
Dans le cas présent, on a :
E(X) = -10 P(X=-10) - 5P(X=-5) + 0 \times P(X=0) + 40P(X=40)
E(X) = -10 \dfrac{1}{10} - 5\dfrac{5}{10} + 0 \times \dfrac{3}{10} + 40\dfrac{1}{10}
E(X) = -1-2{,}5+4
E(X) = 0{,}5
L'espérance de la variable aléatoire X est donc E(X) = 0{,}5 .
Est-il pertinent de jouer à ce jeu ?
L'espérance de la variable aléatoire représentant le gain algébrique est positive car égale à 0,5.
Or, l'espérance de cette variable aléatoire représente le gain algébrique moyen du jeu.
Ce gain algébrique étant positif, il est donc pertinent de jouer à ce jeu.