Variables aléatoires discrètesCours

I

Les variables aléatoires réelles

Une variable aléatoire réelle est une fonction définie sur l'univers d'une expérience aléatoire et à valeurs dans \mathbb{R}. Il s'agit d'une interprétation numérique des issues ou résultats possibles d'une expérience aléatoire.

Variable aléatoire

Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues. Définir une variable aléatoire sur \Omega, c'est associer un nombre réel à chaque issue de \Omega

Une variable aléatoire est souvent notée par une lettre majuscule : X, Y, T \dots

Si \alpha est un réel, on note \{X=\alpha\} l'événement « la variable aléatoire X prend la valeur \alpha » et \{X\geq \alpha\} l'événement « la variable aléatoire X prend une valeur supérieure ou égale à \alpha ».

On note P(X=\alpha) (au lieu de P\left(\{X=\alpha\}\right)) la probabilité de l'événement \(\{X=

On lance deux fois une pièce de monnaie parfaitement équilibrée et on s'intéresse aux faces obtenues en notant P pour pile et F pour face.

L'univers \Omega de cette expérience est \Omega = \{PP;PF;FP;FF\}.

Si à chaque issue on associe le nombre de « pile » obtenus, on définit une variable aléatoire X sur \Omega qui prend les valeurs 0, 1 ou 2. 

On note X(\Omega) = \{0;1;2\} l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X.

On a : \{X=0\}=\{FF\}, \{X=1\}=\{PF;FP\} et \{X=2\}=\{PP\}.

Pour la même expérience, on peut définir plusieurs variables aléatoires.

II

La loi d'une variable aléatoire

La loi d'une variable aléatoire est l'ensemble des valeurs prises par cette variable, ainsi que les probabilités associées.

Loi de probabilité

Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues, et soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1;x_2;\dots;x_nLa loi de probabilité de la variable X est la fonction qui, à chacune des valeurs x_i prises par X, fait correspondre la probabilité p_i de l'événement élémentaire \{X = x_i\}.

En général, on présente la loi de probabilité d'une variable X dans un tableau du type :

x_i x_1 x_2 ... x_n
P(X=x_i) p_1 p_2 ... p_n

On a toujours :

p_1+p_2+\dots+p_n=P(X=x_1)+P(X=x_2)+\dots+P(X=x_n)=1

En effet, l'union disjointe des événements élémentaires est l'univers entier.

On lance deux fois une pièce de monnaie parfaitement équilibrée et on s'intéresse aux faces obtenues en notant P pour pile et F pour face.

L'univers \Omega de cette expérience est \Omega = \{PP;PF;FP;FF\}.

On définit la variable aléatoire X sur \Omega donnant le nombre de "Pile" obtenus. 

La pièce étant équilibrée, chaque événement élémentaire est équiprobable, et admet donc une probabilité de \dfrac{1}{4}.

On obtient donc la loi de probabilité suivante pour X :

x_i 0 1 2
P(X=x_i) \dfrac{1}{4} \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{4}
III

Les paramètres d'une variable aléatoire

Les paramètres d'une variable aléatoire sont l'espérance, qui donne le résultat moyen espéré de cette variable aléatoire, ainsi que la variance et l'écart-type qui donnent des informations sur la répartition des valeurs prises par la variable aléatoire.

A

L'espérance, la variance, l'écart type

Espérance

Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues, et soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1;x_2;\dots;x_n.

On appelle espérance de la variable X le nombre réel, noté E(X), défini par :

E(X)=P(X=x_1)\times x_1+P(X=x_2)\times x_2+\dots+P(X=x_n)\times x_n

On considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. En fonction du résultat obtenu, le joueur gagne une certaine somme d'argent :

  • Si la face supérieure du dé indique 6, le joueur gagne 10 €.
  • Si la face supérieure du dé indique 5, le joueur gagne 5 €.
  • Sinon, le joueur ne gagne rien.

Pour jouer, le joueur doit d'abord miser 2 €.

On définit la variable aléatoire G qui à la face obtenue associe le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire le gain minoré de la mise.

G prend les valeurs −2 (si la face obtenue est 1, 2, 3 ou 4), 3 (si la face obtenue est 5) et 8 (si la face obtenue est 6).

La loi de probabilité de G est :

g_i −2 3 8
P(G=g_i)

\dfrac{4}{6}

\dfrac{1}{6} \dfrac{1}{6}

L'espérance de G est donc :

E(G)=\dfrac{4}{6}\times (−2)+\dfrac{1}{6}\times 3+\dfrac{1}{6}\times 8

E(G)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}

L'espérance de la variable aléatoire X est le résultat moyen que l'on peut « espérer » obtenir en répétant un grand nombre de fois l'expérience aléatoire.

On considère une variable aléatoire X sur un univers \Omega prenant les valeurs x_1, x_2, \dots, x_n avec les probabilités respectives p_1, p_2, \dots, p_n.

On suppose que les valeurs prises par X sont stockées dans une liste \verb~valeurs~ et les probabilités dans une liste \verb~proba~.

Le code Python suivant permet de calculer l'espérance de la variable aléatoire X.

-

On considère une variable aléatoire X prenant les valeurs −1, 0 et 1 sur un univers \Omega avec les probabilités correspondantes égales à \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4} et \dfrac{1}{2}.

Le programme suivant permet de calculer l'espérance de X :

-

On obtient :

-

L'espérance de X est donc :

E(X)=0{,}25.

Variance

Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues, et soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1;x_2;\dots;x_n.

On appelle variance de la variable aléatoire X le nombre réel :

V(X)=P(X=x_1)\times \left[x_1-E(X)\right]^2+P(X=x_2)\times \left[x_2-E(X)\right]^2+\dots +P(X=x_n)\times \left[x_n-E(X)\right]^2

On considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

En fonction du résultat obtenu, le joueur gagne une certaine somme d'argent.

  • Si la face supérieure du dé indique 6, le joueur gagne 10 €.
  • Si la face supérieure du dé indique 5, le joueur gagne 5 €.
  • Sinon, le joueur ne gagne rien.

Pour jouer, le joueur doit d'abord miser 2 €.

On définit la variable aléatoire G qui à la face obtenue associe le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire le gain minoré de la mise.

G prend les valeurs −2 (si la face obtenue est 1, 2, 3 ou 4), 3 (si la face obtenue est 5) et 8 (si la face obtenue est 6).

La loi de probabilité de G est :

g_i −2 3 8
P(G=g_i)

\dfrac{4}{6}

\dfrac{1}{6} \dfrac{1}{6}

 

L'espérance de G est donc :

E(G)=\dfrac{4}{6}\times (−2)+\dfrac{1}{6}\times 3+\dfrac{1}{6}\times 8

E(G)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}

La variance de G est :

V(G)=\dfrac{4}{6}\times \left[(−2)-\dfrac{1}{2}\right]^2+\dfrac{1}{6}\times \left(3-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{6}\times \left(8-\dfrac{1}{2}\right)^2

V(G)=\dfrac{175}{12}

La variance de X est une moyenne des carrés des écarts entre chaque valeur et la moyenne (espérance de X) que l'on peut « espérer » obtenir en répétant un grand nombre de fois l'expérience. 

Autrement dit, V(X)=E\left(\left[X-E(X)\right]^2\right).

La variance est l'espérance de la variable aléatoire (\left[X-E(X)\right]^2.

On peut également calculer la variance de la variable aléatoire X par :

V(X)=P(X=x_1)\times x_1^2+P(X=x_2)\times x_2^2+\dots +P(X=x_n)\times x_n^2-\left[E(X)\right]^2

Autrement dit :

 V(X)=E\left(X^2\right)-\left[E(X)\right]^2.

On considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

En fonction du résultat obtenu, le joueur gagne une certaine somme d'argent.

  • Si la face supérieure du dé indique 6, le joueur gagne 10 €.
  • Si la face supérieure du dé indique 5, le joueur gagne 5 €.
  • Sinon, le joueur ne gagne rien.

Pour jouer, le joueur doit d'abord miser 2 €.

On définit la variable aléatoire G qui à la face obtenue associe le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire le gain minoré de la mise.

G prend les valeurs −2 (si la face obtenue est 1, 2, 3 ou 4), 3 (si la face obtenue est 5) et 8 (si la face obtenue est 6).

La loi de probabilité de G est :

g_i −2 3 8
P(G=g_i)

\dfrac{4}{6}

\dfrac{1}{6} \dfrac{1}{6}

L'espérance de G est donc :

E(G)=\dfrac{4}{6}\times (−2)+\dfrac{1}{6}\times 3+\dfrac{1}{6}\times 8

E(G)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}

La variance de G est :

V(G)=\dfrac{4}{6}\times (−2)^2+\dfrac{1}{6}\times 3^2+\dfrac{1}{6}\times 8^2-\left( \dfrac{1}{2}\right)^2= \dfrac{175}{12}.

On retrouve bien le résultat précédent. 

Écart type

On appelle écart type d'une variable aléatoire X le nombre réel \sigma(X) défini par \sigma(X)=\sqrt{V(X)}, où V(X) est la variance de la variable aléatoire X.

On considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

En fonction du résultat obtenu, le joueur gagne une certaine somme d'argent.

  • Si la face supérieure du dé indique 6, le joueur gagne 10 €.
  • Si la face supérieure du dé indique 5, le joueur gagne 5 €.
  • Sinon, le joueur ne gagne rien.

Pour jouer, le joueur doit d'abord miser 2 €.

On définit la variable aléatoire G qui à la face obtenue associe le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire le gain minoré de la mise.

G prend les valeurs −2 (si la face obtenue est 1, 2, 3 ou 4), 3 (si la face obtenue est 5) et 8 (si la face obtenue est 6).

La loi de probabilité de G est :

g_i −2 3 8
P(G=g_i)

\dfrac{4}{6}

\dfrac{1}{6} \dfrac{1}{6}

L'espérance de G est donc :

E(G)=\dfrac{4}{6}\times (−2)+\dfrac{1}{6}\times 3+\dfrac{1}{6}\times 8

E(G)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}

La variance de G est :

V(G)=\dfrac{4}{6}\times (−2)^2+\dfrac{1}{6}\times 3^2+\dfrac{1}{6}\times 8^2-\left( \dfrac{1}{2}\right)^2= \dfrac{175}{12}.

On en déduit :

\sigma(G)=\sqrt{V(G)}

\sigma(G)=\sqrt{\dfrac{175}{12}}

\sigma(G)\approx 3{,}819

Si les valeurs prises par la variable s'exprime dans une unité (des euros dans l'exemple précédent), alors l'écart type s'exprime dans la même unité, ce qui n'est pas le cas de la variance (qui s'exprime dans le carré de l'unité de départ).

On considère une variable aléatoire X sur un univers \Omega prenant les valeurs x_1, x_2, \dots, x_n avec les probabilités respectives p_1, p_2, \dots, p_n.

On suppose que les valeurs prises par X sont stockées dans une liste \verb~valeurs~ et les probabilités dans une liste \verb~proba~.

Le code Python suivant permet de calculer l'écart-type de la variable aléatoire X.

-

On considère une variable aléatoire X prenant les valeurs −1, 0 et 1 sur un univers \Omega avec les probabilités correspondantes égales à \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4} et \dfrac{1}{2}.

Le programme suivant permet de calculer l'écart-type de X :

-

On obtient :

-

L'écart-type de X est donc environ de :

\sigma(X)\approx 0{,}829

B

Les jeux équitable, favorable ou défavorable

Lorsque les probabilités sont liées à un gain aléatoire, l'espérance liée au gain algébrique indique si le jeu est équitable ou bien s'il est favorable ou défavorable au joueur. 

Soit \Omega l'ensemble des issues d'un jeu de hasard.

Si X est la variable aléatoire qui donne le gain (algébrique) du joueur, alors on dit que :

  • le jeu est équitable si E(X)=0 ;
  • le jeu est favorable au joueur si E(X)>0 ;
  • le jeu est défavorable au joueur si E(X)<0.

Le jeu de cartes très simple suivant comprend une mise de 5 €.

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.

Si on obtient l'As de coeur, on gagne 100 €.

Sinon, on perd sa mise de 5 €.

On note G la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.

G prend donc les valeurs 95 et −5 avec les probabilités respectives \dfrac{1}{32} et \dfrac{31}{32}.

E(G)=95\times \dfrac{1}{32}+(−5)\times \dfrac{31}{32}.

E(G)=\dfrac{−15}{8}.

Le jeu n'est pas équitable.

Il est défavorable au joueur.