Variables aléatoires discrètesCours

I

Variables aléatoires réelles

Variable aléatoire

Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues.

Définir une variable aléatoire sur \Omega, c'est associer un nombre réel à chaque issue de \Omega.

Notation

 - Une variable aléatoire est souvent notée par une lettre majuscule : X, Y, T \dots

 - Si \alpha est un réel, on note \{X=\alpha\} l'événement « la variable aléatoire X prend la valeur \alpha » et \{X\geq \alpha\} l'événement « la variable aléatoire X prend une valeur supérieure ou égale à \alpha ».

 - On note P(X=\alpha) (au lieu de P\left(\{X=\alpha\}\right)) la probabilité de l'événement \{X=\alpha\}.

On lance deux fois une pièce de monnaie parfaitement équilibrée et on s'intéresse aux faces obtenues en notant P pour pile et F pour face.

L'univers \Omega de cette expérience est \Omega = \{PP;PF;FP;FF\}.

Si à chaque issue on associe le nombre de « pile » obtenus, on définit une variable aléatoire X sur \Omega qui prend les valeurs 0, 1 ou 2. 

On note X(\Omega) = \{0;1;2\} l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X.

On a : \{X=0\}=\{FF\}, \{X=1\}=\{PF;FP\} et \{X=2\}=\{PP\}.

Pour la même expérience, on peut définir plusieurs variables aléatoires.

II

Loi d'une variable aléatoire

Loi de probabilité

Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues, et soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1;x_2;\dots;x_n.

La loi de probabilité de la variable X est la fonction qui, à chacune des valeurs x_i prises par X, fait correspondre la probabilité p_i de l'événement élémentaire \{X = x_i\}.

Reprenons les notations de la définition précédente.

 - En général, on présente la loi de probabilité d'une variable X dans un tableau du type :

x_i x_1 x_2 ... x_n
P(X=x_i) p_1 p_2 ... p_n

- On a toujours :

p_1+p_2+\dots+p_n=P(X=x_1)+P(X=x_2)+\dots+P(X=x_n)=1

En effet, l'union disjointe des événements élémentaires est l'univers entier.

Reprenons l'exemple de la partie I.

La pièce étant équilibrée, chaque événement élémentaire est équiprobable, et admet donc une probabilité de \dfrac{1}{4}.

On obtient donc la loi de probabilité suivante pour X :

x_i 0 1 x_n
P(X=x_i) \dfrac{1}{4} \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{4}
III

Paramètres d'une variable aléatoire

A

Espérance, variance, écart type

Espérance

Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues, et soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1;x_2;\dots;x_n.

On appelle espérance de la variable X le nombre réel, noté E(X), défini par :

E(X)=P(X=x_1)\times x_1+P(X=x_2)\times x_2+\dots+P(X=x_n)\times x_n

Avec les notations de la définition, l'espérance de la variable aléatoire X est le résultat moyen que l'on peut « espérer » obtenir en répétant un grand nombre de fois l'expérience aléatoire.

On considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

En fonction du résultat obtenu, le joueur gagne une certaine somme d'argent.

Si la face supérieure du dé indique 6, le joueur gagne 10 €.

Si la face supérieure du dé indique 5, le joueur gagne 5 €.

Sinon, le joueur ne gagne rien.

Pour jouer, le joueur doit d'abord miser 2 €.

On définit la variable aléatoire G qui à la face obtenue associe le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire le gain minoré de la mise.

G prend les valeurs −2 (si la face obtenue est 1, 2, 3 ou 4), 3 (si la face obtenue est 5) et 8 (si la face obtenue est 6).

La loi de probabilité de G est :

g_i −2 3 8
P(G=g_i)

\dfrac{4}{6}

\dfrac{1}{6} \dfrac{1}{6}

 

L'espérance de G est donc :

E(G)=\dfrac{4}{6}\times (−2)+\dfrac{1}{6}\times 3+\dfrac{1}{6}\times 8

E(G)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}

Variance

Avec les notations de la définition précédente, on appelle variance de la variable aléatoire X le nombre réel :

V(X)=P(X=x_1)\times \left[x_1-E(X)\right]^2+P(X=x_2)\times \left[x_2-E(X)\right]^2+\dots +P(X=x_n)\times \left[x_n-E(X)\right]^2

La variance de X est une moyenne des carrés des écarts entre chaque valeur et la moyenne (espérance de X) que l'on peut « espérer » obtenir en répétant un grand nombre de fois l'expérience.

Autrement dit, V(X)=E\left(\left[X-E(X)\right]^2\right).

La variance est l'espérance de la variable aléatoire (\left[X-E(X)\right]^2.

Reprenons l'exemple précédent.

La variance de G est :

V(G)=\dfrac{4}{6}\times \left[(−2)-\dfrac{1}{2}\right]^2+\dfrac{1}{6}\times \left(3-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{6}\times \left(8-\dfrac{1}{2}\right)^2

V(G)=\dfrac{175}{12}

On peut également calculer la variance de la variable aléatoire X par :

V(X)=P(X=x_1)\times x_1^2+P(X=x_2)\times x_2^2+\dots +P(X=x_n)\times x_n^2-\left[E(X)\right]^2

Autrement dit, V(X)=E\left(X^2\right)-\left[E(X)\right]^2.

On vérifie facilement sur l'exemple précédent que 

\dfrac{4}{6}\times (-2)^2+\dfrac{1}{6}\times 3^2+\dfrac{1}{6}\times 8^2-\left( \dfrac{1}{2}\right)^2 donne également \dfrac{175}{12}.

Écart type

On appelle écart type d'une variable aléatoire X le nombre réel \sigma(X) défini par \sigma(X)=\sqrt{V(X)}, où V(X) est la variance de la variable aléatoire X.

Dans l'exemple précédent, on obtient :

\sigma(G)=\sqrt{V(G)}

\sigma(G)=\sqrt{\dfrac{175}{12}}

\sigma(G)\approx 3{,}819

Si les valeurs prises par la variable s'exprime dans une unité (des euros avec l'exemple précédent), alors l'écart type s'exprime dans la même unité, ce qui n'est pas le cas de la variance (qui s'exprime dans le carré de l'unité de départ).

B

Jeu équitable

Jeu équitable

Soit \Omega l'ensemble des issues d'un jeu de hasard.

Si X est la variable aléatoire qui donne le gain (algébrique) du joueur, alors on dit que :

- le jeu est équitable si E(X)=0 ;

- le jeu est favorable au joueur si E(X)>0 ;

- le jeu est défavorable au joueur si E(X)<0.

Dans l'exemple précédent, le jeu n'est pas équitable, car E(G)=\dfrac{175}{12}.

Il est favorable au joueur.