Une urne contient 20 boules indiscernables au toucher. Parmi ces boules, 12 sont noires, 6 sont blanches et 2 sont rouges.
Un joueur mise 5 € et tire une boule au hasard, sans voir ce qu'il fait.
S'il tire une boule rouge, il gagne 10 €.
S'il tire une boule blanche, il gagne 2 €.
Sinon, il ne gagne rien.
Quelle est l'espérance du gain algébrique du joueur ?
Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues. Soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1; x_2 ; x_3. On appelle espérance de la variable X le nombre réel, noté E(X), et V(X) sa variance.
E(X)=P(X=x_1)\times x_1+P(X=x_2)\times x_2+P(X=x_3)\times x_3
On a la loi de probabilité de X suivante :
- P(X=5) = \dfrac{2}{20} ;
- P(X = -3) = \dfrac{6}{20} ;
- P(X = -5) = \dfrac{12}{20}.
L'espérance du gain algébrique est donc :
E(X)=5\times \dfrac{2}{20}+(-3)\times \dfrac{6}{20}+(-5)\times \dfrac{12}{20}
On obtient :
L'espérance du gain algébrique du joueur est -3{,}40\text{ €}.
La loi de probabilité d'une variable aléatoire X est donnée par le tableau ci-dessous :
| x_i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P(X=x_i) | \dfrac{1}{10} | \dfrac{3}{10} | \dfrac{2}{5} | \dfrac{1}{10} | \dfrac{1}{10} |
Quelle est l'espérance de la variable aléatoire X ?
Si X est une variable aléatoire prend les valeurs x_1, x_2, \dots, x_n avec une probabilité respective p_1, p_2, \dots, p_n, alors l'espérance de la variable aléatoire X est :
E(X)=x_1\times p_1+x_2\times p_2+\dots+x_n\times p_n
Ici, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est donnée dans le tableau.
On obtient :
E(X)=0\times \dfrac{1}{10}+1\times \dfrac{3}{10}+2\times \dfrac{2}{5}+3\times \dfrac{1}{10}+4\times \dfrac{1}{10}.
D'où :
L'espérance de la variable aléatoire X est \dfrac{9}{5}, soit 1,8.
La loi de probabilité d'une variable aléatoire X est donnée par le tableau ci-dessous :
| x_i | -50 | 50 | 100 | 150 |
| P(X=x_i) | 0,16 | 0,27 | 0,34 | 0,23 |
Quelle est l'espérance de la variable aléatoire X ?
Si X est une variable aléatoire prend les valeurs x_1, x_2, \dots, x_n avec une probabilité respective p_1, p_2, \dots, p_n, alors l'espérance de la variable aléatoire X est :
E(X)=x_1\times p_1+x_2\times p_2+\dots+x_n\times p_n
Ici, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est donnée dans le tableau.
On obtient :
E(X)=(-50)\times 0{,}16+50\times 0{,}27+100\times 0{,}34+150\times 0{,}23
D'où :
L'espérance de la variable aléatoire X est 74.
Un élève répond au hasard à un QCM de trois questions.
Chaque question comporte quatre propositions dont une seule est correcte.
On note X le nombre de réponses correctes obtenues par l'élève.
On obtient alors la loi de probabilité suivante pour X :
| x_i | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P(X=x_i) | \dfrac{27}{64} | \dfrac{27}{64} | \dfrac{9}{64} | \dfrac{1}{64} |
Quelle est l'espérance de la variable aléatoire X ?
Si X est une variable aléatoire prend les valeurs x_1, x_2, \dots, x_n avec une probabilité respective p_1, p_2, \dots, p_n, alors l'espérance de la variable aléatoire X est :
E(X)=x_1\times p_1+x_2\times p_2+\dots+x_n\times p_n.
Ici, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est donnée dans le tableau.
On obtient :
E(X)=0\times \dfrac{27}{64}+1\times \dfrac{27}{64}+2\times \dfrac{9}{64}+3\times \dfrac{1}{64}.
D'où :
L'espérance de la variable aléatoire X est donc \dfrac{48}{64}.
Un joueur lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Ce dé est truqué de la façon suivante :
Chaque face a une probabilité d'être obtenue proportionnelle au numéro inscrit sur la face.
On note X la face obtenue par le joueur.
On obtient alors la loi de probabilité suivante pour X :
| x_i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P(X=x_i) | \dfrac{1}{21} | \dfrac{2}{21} | \dfrac{3}{21} | \dfrac{4}{21} | \dfrac{5}{21} | \dfrac{6}{21} |
Quelle est l'espérance de la variable aléatoire X ?
Si X est une variable aléatoire prend les valeurs x_1, x_2, \dots, x_n avec une probabilité respective p_1, p_2, \dots, p_n, alors l'espérance de la variable aléatoire X est :
E(X)=x_1\times p_1+x_2\times p_2+\dots+x_n\times p_n
Ici, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est donnée dans le tableau.
On obtient :
E(X)=1\times \dfrac{1}{21}+2\times \dfrac{2}{21}+3\times \dfrac{3}{21}+4\times \dfrac{4}{21}+5\times \dfrac{5}{21}+6\times \dfrac{6}{21}=\dfrac{91}{21}
D'où :
L'espérance de la variable aléatoire X est \dfrac{13}{3}.