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  4. Exercice : Calculer l'écart type d'une variable aléatoire à l'aide de sa loi de probabilité

Calculer l'écart type d'une variable aléatoire à l'aide de sa loi de probabilité Exercice

Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.

Dernière modification : 12/05/2025 - Conforme au programme 2025-2026

Dans les cas suivants, calculer l'écart type de la variable aléatoire à partir de sa loi de probabilité.

Dans une fête foraine, on étudie une roue circulaire partagée en 8 secteurs de même mesure et constituée de :

  • 1 secteur rouge (R) ;
  • 2 secteurs verts (V) ;
  • 5 secteurs bleus (B).

Pour participer à ce jeu, chaque joueur doit payer 2 € et faire tourner la roue sur son axe central suffisamment fort pour qu'on puisse considérer que la roue a la même probabilité de s'arrêter sur chaque secteur. Selon la couleur du secteur sur laquelle la roue s'arrête, le joueur gagne :

  • 0 € si c'est le bleu ;
  • 3 € si c'est le vert ;
  • 5 € si c'est le rouge.

On appelle X la variable aléatoire qui à chaque couleur associe le gain final correspondant.

-

Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues.

Soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1;x_2;\dots;x_n.

Alors, on a :

  • l'espérance : E(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times x_i ;
  • la variance : V(X)=E\left(\left[X-E(X)\right]^2\right)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times \left(x_i-E(X)\right)^2 ;
  • l'écart type : \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.

Ainsi, d'après la loi de probabilité, on a :
E(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times x_i
E(X)=P(X=-2)\times (-2)+P(X=1)\times 1+P(X=3)\times 3
E(X)=-\dfrac{5}{8}\times 2+\dfrac{2}{8}\times 1+\dfrac{1}{8}\times 3
E(X)=\dfrac{-10}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{3}{8}
E(X)=\dfrac{-10+2+3}{8}
E(X)=-\dfrac{5}{8}

Donc :
V(X)={\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times \left(x_i-E(X)\right)^2}
V(X)={\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times \left(x_i+\dfrac{5}{8}\right)^2}
V(X)={P(X=-2)\times \left((-2)+\dfrac{5}{8}\right)^2+P(X=1)\times \left(1+\dfrac{5}{8}\right)^2+P(X=3)\times \left(3+\dfrac{5}{8}\right)^2}
V(X)={P(X=-2)\times \left(\dfrac{-11}{8}\right)^2+P(X=1)\times \left(\dfrac{13}{8}\right)^2+P(X=3)\times \left(\dfrac{29}{8}\right)^2}
V(X)={\dfrac{5}{8}\times \left(\dfrac{-11}{8}\right)^2+\dfrac{2}{8}\times \left(\dfrac{13}{8}\right)^2+\dfrac{1}{8} \times \left(\dfrac{29}{8}\right)^2}
V(X)={\dfrac{1}{8^3}\times \left(5 \times 11^2 + 2 \times 13^2 + 29^2 \right)}
V(X)={\dfrac{1}{512}\times \left(\text{1 784} \right)}

Ainsi :
\sigma(X)=\sqrt{\dfrac{\text{1 784}}{512}}

Donc \sigma(X)\approx 1{,}87

Dans une fête foraine, on étudie une roue circulaire partagée en 8 secteurs de même mesure et constituée de :

  • 1 secteur rouge (R) ;
  • 2 secteurs verts (V) ;
  • 5 secteurs bleus (B).

Pour participer à ce jeu, chaque joueur doit payer 10 € et faire tourner la roue sur son axe central suffisamment fort pour qu'on puisse considérer que la roue a la même probabilité de s'arrêter sur chaque secteur. Selon la couleur du secteur sur laquelle la roue s'arrête, le joueur gagne :

  • 0 € si c'est le bleu ;
  • 20 € si c'est le vert ;
  • 50 € si c'est le rouge.

On appelle X la variable aléatoire qui à chaque couleur associe le gain final correspondant.

-

Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues.

Soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1;x_2;\dots;x_n.

Alors, on a :

  • l'espérance : E(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times x_i ;
  • la variance : V(X)=E\left(\left[X-E(X)\right]^2\right)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times \left(x_i-E(X)\right)^2 ;
  • l'écart type : \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.

Ainsi, d'après la loi de probabilité, on a :
E(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times x_i
E(X)=P(X=-10)\times (-10)+P(X=10)\times 10+P(X=40)\times 40
E(X)=-\dfrac{5}{8}\times 10+\dfrac{2}{8}\times 10+\dfrac{1}{8}\times 40
E(X)=\dfrac{-50}{8}+\dfrac{20}{8}+\dfrac{40}{8}
E(X)=\dfrac{5}{4}

Donc :
V(X)={\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i) \times \left (x_i-E(X) \right) ^2}
V(X)={P(X=-10)\times \left((-10)- E(X) \right) ^2 + P(X=10) \times \left(10-E(X)\right)^2 + P(X=40)\times \left(40-E(X)\right)^2}
V(X)={\dfrac{5}{8}\times \left((-10)-\dfrac{5}{4}\right)^2 + \dfrac{2}{8}\times \left(10-\dfrac{5}{4}\right)^2 + \dfrac{1}{8}\times \left(40-\dfrac{5}{4}\right)^2}
V(X)={\dfrac{5}{8}\times \left(\dfrac{-45}{4}\right)^2 + \dfrac{2}{8}\times \left(\dfrac{35}{4}\right)^2 + \dfrac{1}{8}\times \left(\dfrac{155}{4}\right)^2}
V(X)=\dfrac{5}{8}\times \dfrac{\text{2 025}}{16} + \dfrac{2}{8}\times \dfrac{\text{1 125}}{16} + \dfrac{1}{8}\times \dfrac{\text{24 025}}{16}
V(X)=\dfrac{1}{128} (5\times \text{2 025} + 2 \times \text{1 125} + \text{24 025})
V(X)=\dfrac{1}{128} (\text{10 125} + \text{2 250} + \text{24 025})
V(X)=\dfrac{\text{36 400}}{128}
V(X)=\dfrac{\text{2 275}}{8}

Ainsi :
\sigma(X)=\sqrt{\dfrac{\text{2 275}}{8}}

Donc \sigma(X)\approx 16{,}9

Dans une fête foraine, on étudie une roue circulaire partagée en 10 secteurs de même mesure et constituée de :

  • 3 secteurs rouges (R) ;
  • 2 secteurs verts (V) ;
  • 5 secteurs bleus (B).

Pour participer à ce jeu, chaque joueur doit payer 10 € et faire tourner la roue sur son axe central suffisamment fort pour qu'on puisse considérer que la roue a la même probabilité de s'arrêter sur chaque secteur. Selon la couleur du secteur sur laquelle la roue s'arrête, le joueur gagne :

  • 0 € si c'est le bleu ;
  • 20 € si c'est le vert ;
  • 50 € si c'est le rouge.

On appelle X la variable aléatoire qui à chaque couleur associe le gain final correspondant.

-

Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues.

Soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1;x_2;\dots;x_n.

Alors, on a :

  • l'espérance : E(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times x_i ;
  • la variance : V(X)=E\left(\left[X-E(X)\right]^2\right)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times \left(x_i-E(X)\right)^2 ;
  • l'écart type : \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.

Ainsi, d'après la loi de probabilité, on a :
E(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times x_i
E(X)=P(X=-10)\times (-10) + P(X=10)\times 10 + P(X=40)\times 40
E(X)=-\dfrac{5}{10}\times 10 + \dfrac{2}{10}\times 10 + \dfrac{3}{10}\times 40
E(X)=\dfrac{-50}{10} + \dfrac{20}{10}+ \dfrac{120}{10}
E(X)=\dfrac{90}{10} = 9

Donc :
V(X)={\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i) \times \left (x_i-E(X) \right) ^2}
V(X)={P(X=-10)\times \left((-10)- E(X) \right) ^2 + P(X=10) \times \left(10-E(X)\right)^2 + P(X=40)\times \left(40-E(X)\right)^2}
V(X)={\dfrac{5}{10}\times \left((-10)-9\right)^2 + \dfrac{2}{10}\times \left(10-9\right)^2 + \dfrac{3}{10}\times \left(40-9\right)^2}
V(X)=\dfrac{5}{10} \times (-19 )^2 + \dfrac{2}{10}\times 1^2 + \dfrac{3}{10}\times (31)^2
V(X)=\dfrac{5}{10}\times 361 + \dfrac{2}{10} + \dfrac{3}{10}\times 961
V(X)=\dfrac{1}{10} ( 5\times 361 + 2 + 3 \times 961)
V(X)=\dfrac{1}{10} (\text{1 805} + 2 + \text{2 883})
V(X)=\dfrac{\text{4 690}}{10}
V(X)=469

Ainsi :
\sigma(X)=\sqrt{469}

Donc \sigma(X)\approx 21{,}7

Dans une fête foraine, on étudie une roue circulaire partagée en 10 secteurs de même mesure et constituée de :

  • 1 secteur rouge (R) ;
  • 4 secteurs verts (V) ;
  • 5 secteurs bleus (B).

Pour participer à ce jeu, chaque joueur doit payer 10 € et faire tourner la roue sur son axe central suffisamment fort pour qu'on puisse considérer que la roue a la même probabilité de s'arrêter sur chaque secteur. Selon la couleur du secteur sur laquelle la roue s'arrête, le joueur gagne :

  • 0 € si c'est le bleu ;
  • 10 € si c'est le vert ;
  • 100 € si c'est le rouge.

On appelle X la variable aléatoire qui à chaque couleur associe le gain final correspondant.

-

Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues.

Soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1;x_2;\dots;x_n.

Alors, on a :

  • l'espérance : E(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times x_i ;
  • la variance : V(X)=E\left(\left[X-E(X)\right]^2\right)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times \left(x_i-E(X)\right)^2 ;
  • l'écart type : \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.

Ainsi, d'après la loi de probabilité, on a :
E(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times x_i
E(X)=P(X=-10)\times (-10) + P(X=0)\times 0 + P(X=90)\times 90
E(X)=-\dfrac{5}{10}\times 10 + \dfrac{1}{10}\times 90
E(X)=4

Donc :
V(X)={\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i) \times \left (x_i-E(X) \right) ^2}
V(X)={P(X=-10)\times \left((-10)- E(X) \right) ^2 + P(X=0) \times \left(-E(X)\right)^2 + P(X=90)\times \left(90-E(X)\right)^2}
V(X)={\dfrac{5}{10}\times \left((-10)-4\right)^2 + \dfrac{4}{10}\times \left(-4\right)^2 + \dfrac{1}{10}\times \left(90-4\right)^2}
V(X)=\dfrac{5}{10} \times (-14 )^2 + \dfrac{4}{10}\times 4^2 + \dfrac{1}{10}\times (86)^2
V(X)=\dfrac{5}{10}\times 196 + \dfrac{4}{10} \times 16 + \dfrac{1}{10}\times \text{7 396}
V(X)=\dfrac{1}{10} (5\times 196 + 4 \times 16 + \text{7 396})
V(X)=\dfrac{1}{10} (980 + 64 + \text{7 396})
V(X)=\dfrac{\text{8 440}}{10}
V(X)=844

Ainsi :
\sigma(X)=\sqrt{844}

Donc \sigma(X)\approx 29{,}1

Dans une fête foraine, on étudie une roue circulaire partagée en 20 secteurs de même mesure et constituée de :

  • 2 secteurs rouges (R) ;
  • 4 secteurs verts (V) ;
  • 14 secteurs bleus (B).

Pour participer à ce jeu, chaque joueur doit payer 5 € et faire tourner la roue sur son axe central suffisamment fort pour qu'on puisse considérer que la roue a la même probabilité de s'arrêter sur chaque secteur. Selon la couleur du secteur sur laquelle la roue s'arrête, le joueur gagne :

  • 0 € si c'est le bleu ;
  • 10 € si c'est le vert ;
  • 20 € si c'est le rouge.

On appelle X la variable aléatoire qui à chaque couleur associe le gain final correspondant.

-

Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire ayant un nombre fini d'issues.

Soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1;x_2;\dots;x_n.

Alors, on a :

  • l'espérance : E(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times x_i ;
  • la variance : V(X)=E\left(\left[X-E(X)\right]^2\right)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times \left(x_i-E(X)\right)^2 ;
  • l'écart type : \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.

Ainsi, d'après la loi de probabilité, on a :
E(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times x_i
E(X)=P(X=-5)\times (-5) + P(X=5)\times 5 + P(X=15)\times 15
E(X)=-\dfrac{7}{10}\times 5 + \dfrac{2}{10}\times 5 + \dfrac{1}{10}\times 15
E(X)=-1

Donc :
V(X)={\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i) \times \left (x_i-E(X) \right) ^2}
V(X)={P(X=-5)\times \left((-5)- E(X) \right) ^2 + P(X=5) \times \left(5-E(X)\right)^2 + P(X=15)\times \left(15-E(X)\right)^2}
V(X)={\dfrac{7}{10}\times \left((-5)+1\right)^2 + \dfrac{2}{10}\times \left(5+1\right)^2 + \dfrac{1}{10}\times \left(15+1\right)^2}
V(X)=\dfrac{7}{10} \times (-4 )^2 + \dfrac{2}{10}\times 6^2 + \dfrac{1}{10}\times 16^2
V(X)=\dfrac{7}{10}\times 16 + \dfrac{2}{10} \times 36 + \dfrac{1}{10}\times 256
V(X)=\dfrac{1}{10} ( 7\times 16 + 2 \times 36 + 256)
V(X)=\dfrac{1}{10} ( 112 + 72 + 256)
V(X)=\dfrac{440}{10}
V(X)=44

Ainsi :
\sigma(X)=\sqrt{44}

Donc \sigma(X)\approx 6{,}6

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