Calculer un sinus ou un cosinus à l'aide de leurs propriétés de périodicité Exercice

Pour tout x\in \mathbb{R} et pour tout k\in \mathbb{Z}, on sait que :
\cos(x+2k\pi)=\cos(x)

Ici, on cherche à calculer \cos\left(\dfrac{13\pi}{6}\right).

On remarque que :
\cos\left(\dfrac{13\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi+12\pi}{6}\right)
\cos\left(\dfrac{13\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}+2\pi\right)

D'après la propriété de périodicité du cosinus, on obtient :
\cos\left(\dfrac{13\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

Or, d'après le cours :
\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} 

Pour tout x\in \mathbb{R} et pour tout k\in \mathbb{Z}, on sait que :
\cos(x+2k\pi)=\cos(x)

Ici, on cherche à calculer \cos\left(\dfrac{25\pi}{4}\right).

On remarque que :
\cos\left(\dfrac{25\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi+24\pi}{4}\right)
\cos\left(\dfrac{25\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+3 \times 2\pi\right)

D'après la propriété de périodicité du cosinus, on obtient :
\cos\left(\dfrac{25\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)

Or, d'après le cours :
\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} 

Pour tout x\in \mathbb{R} et pour tout k\in \mathbb{Z}, on sait que :
\sin(x+2k\pi)=\sin(x)

Ici, on cherche à calculer \sin\left(\dfrac{-3\pi}{2}\right).

On remarque que :
\sin\left(\dfrac{-3\pi}{2}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi-4\pi}{2}\right)
\sin\left(\dfrac{-3\pi}{2}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2\pi\right)

D'après la propriété de périodicité du sinus, on obtient :
\sin\left(\dfrac{-3\pi}{2}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)

Or, d'après le cours :
\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 

Pour tout x\in \mathbb{R} et pour tout k\in \mathbb{Z}, on sait que :
\sin(x+2k\pi)=\sin(x)

Ici, on cherche à calculer \sin\left(\dfrac{37\pi}{6}\right).

On remarque que :
\sin\left(\dfrac{37\pi}{6}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi+36\pi}{6}\right)
\sin\left(\dfrac{37\pi}{6}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+3 \times 2\pi\right)

D'après la propriété de périodicité du sinus, on obtient :
\sin\left(\dfrac{37\pi}{6}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

Or, d'après le cours :
\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2} 

Pour tout x\in \mathbb{R} et pour tout k\in \mathbb{Z}, on sait que :
\sin(x+2k\pi)=\sin(x)

Ici, on cherche à calculer \sin\left(\dfrac{-29\pi}{3}\right).

On remarque que :
\sin\left(\dfrac{-29\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi-30\pi}{3}\right)
\sin\left(\dfrac{-29\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-10\pi\right)
\sin\left(\dfrac{-29\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+(-5)2\pi\right)

D'après la propriété de périodicité du cosinus, on obtient :
\sin\left(\dfrac{-29\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)

Or, d'après le cours :
\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}