Trigonométrie Cours

Sommaire

ICercle trigonométriqueIIUne nouvelle unité de mesure d'angle : le radianIIIEnroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométriqueIVCosinus et sinus d'un nombre réelADéfinitionsBLien avec le cosinus et le sinus dans un triangle rectangleCPropriétés des cosinus et sinusDDémonstration de quelques valeursECosinus et sinus de quelques nombres réels associésVFonctions cosinus et sinusAÉtude de la fonction sinusBÉtude de la fonction cosinus
I

Cercle trigonométrique

Dans tout le chapitre, on se place dans un repère orthonormé \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right).

Cercle trigonométrique

On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). 

-

Dans la suite du document, on utilisera les mêmes points A, B, A' et B' de coordonnées respectives (1;0), (0;1), (−1;0) et (0;−1) dans le repère \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right).

Le périmètre d'un cercle trigonométrique est 2\pi.

Considérons le cercle trigonométrique et deux points M et M' sur ce cercle.

  • La longueur de l'arc \stackrel{\frown}{MM'} est proportionnelle à la mesure de l'angle \widehat{MOM'}.
  • Si l'angle \widehat{MOM'} mesure \alpha°, alors la longueur de l'arc \stackrel{\frown}{MM'} est x=\alpha\times \dfrac{\pi}{180}.
-
II

Une nouvelle unité de mesure d'angle : le radian

Le radian

Soit le cercle trigonométrique et soit un point M sur le cercle.

Une mesure en radians de l'angle géométrique \widehat{AOM} est la longueur de l'arc \stackrel{\frown}{AM} affectée du signe + si l'arc orienté \stackrel{\frown}{AM} est dans le sens direct et du signe - dans le cas contraire.

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Il y a proportionnalité entre les mesures des angles en degrés et les mesures en radians pour les mesures comprises entre 0° et 360° (pour la mesure en degrés) et celles comprises entre 0 et 2\pi (pour la mesure en radians).

Le coefficient de proportionnalité permettant de passer de la mesure en degrés à la mesure en radians est \dfrac{\pi}{180}.

On cherche à compléter le tableau suivant :

Angle en radians   \dfrac{5\pi}{6} \dfrac{5\pi}{3} \dfrac{3\pi}{4} \dfrac{2\pi}{9}  
Angle en degrés 120         100

Le coefficient de proportionnalité permettant de passer des mesures d'angles en degrés aux mesures d'angles en radians est \dfrac{\pi}{180}.

  • Une mesure d'angle en radians correspondant à une mesure de 120° est donc :

120\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{120\pi}{180}=\dfrac{2\pi}{3}

  • La mesure en degrés correspondant à une mesure d'angle de \dfrac{5\pi}{6} radians est :

\dfrac{5\pi}{6}\div\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}\times \dfrac{180}{\pi}=150

En poursuivant de la même façon, on obtient :

Angle en radians \dfrac{2\pi}{3} \dfrac{5\pi}{6} \dfrac{5\pi}{3} \dfrac{3\pi}{4} \dfrac{2\pi}{9} \dfrac{5\pi}{9}
Angle en degrés 120 150 330 135 40 100
Angle en radians 0 \dfrac{\pi}{6} \dfrac{\pi}{4} \dfrac{\pi}{3} \dfrac{\pi}{2} \pi 2\pi
Angle en degrés 0 30 45 60 90 180 360
Point sur le cercle A A_1 A_2 A_3 B A' A
-
III

Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique

On considère le cercle trigonométrique.

Traçons la droite tangente au cercle passant par le point A

On peut assimiler cette droite à la droite des réels, avec pour origine le point A  et pour vecteur unité le vecteur \overrightarrow{OB}.

Soit x un nombre réel et M le point de l'axe précédent d'abscisse x.

En « enroulant » l'axe des réels sur le cercle trigonométrique (comme dans la figure ci-dessous), on associe au point M un unique point M_1 du cercle trigonométrique.

La longueur de l'arc \stackrel{\frown}{AM_1} est |x|.

-

L'image du réel

Avec les notations précédentes, on dit que le point M_1 est l'image du réel x sur le cercle trigonométrique.

Associer chaque point du cercle ci-contre à l'un des nombres réels suivants :

 

0;\dfrac{\pi}{2};\pi;2\pi;\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{6};\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4};\dfrac{5\pi}{3};\dfrac{3\pi}{2};3\pi

 

\dfrac{-\pi}{2};-\pi;- 2\pi;\dfrac{-\pi}{3};\dfrac{-\pi}{6};\dfrac{−2\pi}{3};\dfrac{-\pi}{4};\dfrac{−15\pi}{4};\dfrac{−16\pi}{3};\dfrac{13\pi}{2}

-

On obtient le tableau suivant :

Réel 0 \dfrac{\pi}{ 2} \pi 2\pi \dfrac{\pi}{3} \dfrac{\pi}{6} \dfrac{2\pi}{3} \dfrac{\pi}{4} \dfrac{5\pi}{4} \dfrac{5\pi}{3} \dfrac{3\pi}{2}
Point A B A' A E C F D D' F' B'
Réel 3\pi \dfrac{-\pi}{2} -\pi −2\pi \dfrac{-\pi}{3} \dfrac{-\pi}{6} \dfrac{−2\pi}{3} \dfrac{-\pi}{4} \dfrac{−15\pi}{4} \dfrac{−16\pi}{3} \dfrac{13\pi}{2}
Point A' B' A' A F' H' E' G' D F B

Si le nombre x est associé au point M du cercle, alors les nombres réels x+2\pi, x−2\pi, x+4\pi, x−4\pi, ..., x+2k\pik est un entier relatif quelconque, sont associés au même point M  par « enroulement ». 

Donc à tout point M du cercle, on peut associer une infinité de réels.

Chaque point du cercle trigonométrique est l'image d'une infinité de nombres réels.

IV

Cosinus et sinus d'un nombre réel

A

Définitions

Soit x un réel et M l'image de x sur le cercle trigonométrique.

  • Le cosinus de x, noté \cos(x), est l'abscisse du point M dans le repère \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right), c'est-à-dire \left(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right).
  • Le sinus de x, noté \sin(x), est l'ordonnée du point M dans le repère \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right), c'est-à-dire \left(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right).
-

Le point M associé au nombre réel x a donc pour coordonnées (\cos(x);\sin(x)) dans le repère \left(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right).

Soit x un nombre réel quelconque.

−1\leq \cos(x)\leq 1 et −1\leq \sin(x)\leq 1

  • Les coordonnées du point A sont (1;0)

On en déduit que \cos(0)=1 et \sin(0)=0.

  • Les coordonnées du point B sont (0;1)

On en déduit que \cos\left( \dfrac{\pi}{2}\right)=0 et \sin\left( \dfrac{\pi}{2}\right)=1.

  • Les coordonnées du point A' sont (−1;0)

On en déduit que \cos(\pi)=−1 et \sin(\pi)=0.

  • Les coordonnées du point B' sont (−1;0)

On en déduit que \cos\left( \dfrac{-\pi}{2}\right)=0 et \sin\left( \dfrac{-\pi}{2}\right)=−1.

  • Le point A est également l'image du nombre réel 2\pi.

On en déduit que \cos(2\pi)=1 et \sin(2\pi)=0.

  •  Le point A' est également l'image du nombre réel 3\pi.

On en déduit que \cos(3\pi)=−1 et \sin(3\pi)=0.

B

Lien avec le cosinus et le sinus dans un triangle rectangle

Les définitions du collège et du lycée correspondent donc pour les réels x compris entre 0 et \dfrac{\pi}{2} et l'angle en degrés associé.

Soit \alpha un angle aigu, assimilé à sa mesure en degrés, et x sa mesure en radians dans l'intervalle \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right].

Avec les notations de la figure ci-dessous, on a :

\cos(x)=OP et \sin(x)=OS=PM

Or, dans le triangle rectangle OPM, on a :

\cos\left( \widehat{POM}\right)=\dfrac{OP}{OM}=OP et \sin\left( \widehat{POM}\right)=\dfrac{PM}{OM}=PM

-
C

Propriétés des cosinus et sinus

Soit x un nombre réel quelconque.

Alors, \cos^2(x)+\sin^2(x)=1.

Dans le repère \left( O;\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB}\right) , le point M a pour coordonnées \left( \cos(x);\sin(x)\right).

On a donc OM^2=\cos^2(x)+\sin^2(x).

Or, OM=1, donc OM^2=1 et \cos^2(x)+\sin^2(x)=1.

\cos^2(x) et \sin^2(x) sont des notations signifiant \left[\cos(x)\right]^2 et \left[\sin(x)\right]^2.

Soit x un réel quelconque et k un entier relatif quelconque.

Alors :

\cos(x+2k\pi)=\cos(x)

\sin(x+2k\pi)=\sin(x)

D

Démonstration de quelques valeurs

\sin\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

\cos\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}

\sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

On réutilise les notations précédentes.

  • Valeur de \sin\left( \dfrac{\pi}{4}\right).

Si x=\dfrac{\pi}{4}, alors \alpha=45^\circ et le triangle OPM est rectangle et isocèle en P.

De plus on a, d'après le théorème de Pythagore, OP^2+PM^2=OM^2.

Comme OP=PM et OM=1 (puisque le cercle trigonométrique est de rayon 1), on obtient 2PM^2=1, soit PM^2=\dfrac{1}{2} et PM=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

On obtient bien \sin\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

  • D'après ce qui précède, OP=PM,

donc on obtient également :

\cos\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

  • Valeurs de \cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right) et \sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right).

Notons I  le milieu du segment [OM].

Le triangle OPM étant rectangle, le point I  est le centre du cercle circonscrit au triangle OPM.

Ainsi IO=IP=IM.

Dans le triangle OPM rectangle en P, on a : 

\cos\left( \widehat{POM}\right)=\dfrac{OP}{OM}

\cos\left( \widehat{POM}\right)=\dfrac{OP}{2\times OI}

Or, le triangle OIP est isocèle en I  et \widehat{POI}=60^\circ.

C'est donc un triangle équilatéral.

En particulier, on obtient :

IO=OP

Par conséquent,

\cos\left( \widehat{POM}\right)=\dfrac{OP}{2\times OP}

\cos\left( \widehat{POM}\right)=\dfrac{1}{2}

Comme \cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\cos(60^\circ)

on a bien \cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}.

  • De plus \cos^2\left( \dfrac{\pi}{3}\right)+\sin^2\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=1.

Donc :

\sin^2\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=1-\left( \dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}

Comme \sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right)>0, on obtient bien :

\sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Les valeurs suivantes sont à connaître par cœur :

Réel x 0 \dfrac{\pi}{6} \dfrac{\pi}{4} \dfrac{\pi}{3} \dfrac{\pi}{2} \pi
\cos(x) 1 \dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{1}{2} 0 −1
\sin(x) 0 \dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{\sqrt{3}}{2} 1 0
E

Cosinus et sinus de quelques nombres réels associés

Soit x un réel quelconque.

\cos(\pi+x)=-\cos(x) et \sin(\pi+x)=-\sin(x)

\cos(\pi-x)=-\cos(x) et \sin(\pi-x)= \sin(x)

\cos(-x)=\cos(x) et \sin(-x)=-\sin(x)

\cos\left( \dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin(x) et \sin\left( \dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos(x)

 \cos\left( \dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x) et \sin\left( \dfrac{\pi}{2} - x\right)=\cos(x)

Voici une idée de la démonstration :

Soit M le point du cercle associé à un réel x, c'est-à-dire l'image du nombre réel x sur le cercle trigonométrique.

Alors, M', N, N', P et Q sont respectivement associés aux réels \pi+x, -x, \pi-x, x+\dfrac{\pi}{2} et x-\dfrac{\pi}{2}.

Le point N (image du réel -x) est le symétrique du point M par rapport à l'axe des abscisses.

Le point M' (image du réel \pi+x) est le symétrique du point M par rapport à l'origine du repère.

Le point N' (image du réel \pi-x) est le symétrique du point M par rapport à l'axe des ordonnées.

Le point Q (image du réel \dfrac{\pi}{2}-x) est le symétrique du point M par rapport à la droite d'équation y=x.

Le point P (image du réel \dfrac{\pi}{2}+x) est le symétrique du point N' par rapport à la droite d'équation y=-x.

-

\sin\left( \dfrac{5\pi}{6}\right)=\sin\left( \pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\left( \dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}

 \cos\left( \dfrac{-\pi}{4}\right)=\cos\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

 \sin\left( \dfrac{-\pi}{2}\right)=-\sin\left( \dfrac{\pi}{2}\right)=−1

\cos\left( \dfrac{3\pi}{2}\right)=\cos\left( \dfrac{\pi}{2}+\pi\right)=-\cos\left( \dfrac{\pi}{2}\right)=0

 \sin\left( \dfrac{3\pi}{4}\right)=\sin\left( \pi-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

 \cos\left( \dfrac{5\pi}{3}\right)=\cos\left( 2\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left( \dfrac{-\pi}{4}\right)=\cos\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2}

V

Fonctions cosinus et sinus

A

Étude de la fonction sinus

Fonction sinus

On appelle fonction sinus, notée \sin, la fonction qui à chaque nombre réel x associe le réel \sin(x) défini précédemment.

L'ensemble de définition de la fonction sinus est \mathbb{R}.

Pour tout x\in \mathbb{R}, -x\in \mathbb{R} et \sin(-x)=-\sin(x).

La fonction sinus est donc impaire.

Graphiquement, la courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Pour tout x\in \mathbb{R}, x+2\pi\in \mathbb{R} et \sin(x+2\pi)=\sin(x).

La fonction sinus est périodique de période 2\pi.

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B

Étude de la fonction cosinus

Fonction cosinus

On appelle fonction cosinus, notée \cos, la fonction qui à chaque nombre réel x associe le réel \cos(x) défini précédemment.

L'ensemble de définition de la fonction sinus est \mathbb{R}.

Pour tout x\in \mathbb{R}, -x\in \mathbb{R} et \cos(-x)=\cos(x).

La fonction cosinus est donc impaire.

Graphiquement, la courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Pour tout x\in \mathbb{R}, x+2\pi\in \mathbb{R} et \cos(x+2\pi)=\cos(x).

La fonction cosinus est périodique de période 2\pi.

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La courbe de la fonction cosinus est en fait l'image de la courbe de la fonction sinus par la translation de vecteur -\dfrac{\pi}{2}\overrightarrow{\imath}.

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