TrigonométrieCours

I

Cercle trigonométrique

Dans tout le chapitre, on se place dans un repère orthonormé \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right).

Cercle trigonométrique

On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). 

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Dans la suite du document, on utilisera les mêmes points A, B, A' et B' de coordonnées respectives (1;0), (0;1), (−1;0) et (0;−1) dans le repère \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right).

Le périmètre d'un cercle trigonométrique est 2\pi.

Considérons le cercle trigonométrique et deux points M et M' sur ce cercle.

  • La longueur de l'arc \stackrel{\frown}{MM'} est proportionnelle à la mesure de l'angle \widehat{MOM'}.
  • Si l'angle \widehat{MOM'} mesure \alpha°, alors la longueur de l'arc \stackrel{\frown}{MM'} est x=\alpha\times \dfrac{\pi}{180}.
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II

Une nouvelle unité de mesure d'angle : le radian

Le radian

Soit le cercle trigonométrique et soit un point M sur le cercle.

Une mesure en radians de l'angle géométrique \widehat{AOM} est la longueur de l'arc \stackrel{\frown}{AM} affectée du signe + si l'arc orienté \stackrel{\frown}{AM} est dans le sens direct et du signe - dans le cas contraire.

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Il y a proportionnalité entre les mesures des angles en degrés et les mesures en radians pour les mesures comprises entre 0° et 360° (pour la mesure en degrés) et celles comprises entre 0 et 2\pi (pour la mesure en radians).

Le coefficient de proportionnalité permettant de passer de la mesure en degrés à la mesure en radians est \dfrac{\pi}{180}.

On cherche à compléter le tableau suivant :

Angle en radians   \dfrac{5\pi}{6} \dfrac{5\pi}{3} \dfrac{3\pi}{4} \dfrac{2\pi}{9}  
Angle en degrés 120         100

Le coefficient de proportionnalité permettant de passer des mesures d'angles en degrés aux mesures d'angles en radians est \dfrac{\pi}{180}.

  • Une mesure d'angle en radians correspondant à une mesure de 120° est donc :

120\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{120\pi}{180}=\dfrac{2\pi}{3}

  • La mesure en degrés correspondant à une mesure d'angle de \dfrac{5\pi}{6} radians est :

\dfrac{5\pi}{6}\div\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}\times \dfrac{180}{\pi}=150

En poursuivant de la même façon, on obtient :

Angle en radians \dfrac{2\pi}{3} \dfrac{5\pi}{6} \dfrac{5\pi}{3} \dfrac{3\pi}{4} \dfrac{2\pi}{9} \dfrac{5\pi}{9}
Angle en degrés 120 150 330 135 40 100
Angle en radians 0 \dfrac{\pi}{6} \dfrac{\pi}{4} \dfrac{\pi}{3} \dfrac{\pi}{2} \pi 2\pi
Angle en degrés 0 30 45 60 90 180 360
Point sur le cercle A A_1 A_2 A_3 B A' A
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III

Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique

On considère le cercle trigonométrique.

Traçons la droite tangente au cercle passant par le point A

On peut assimiler cette droite à la droite des réels, avec pour origine le point A  et pour vecteur unité le vecteur \overrightarrow{OB}.

Soit x un nombre réel et M le point de l'axe précédent d'abscisse x.

En « enroulant » l'axe des réels sur le cercle trigonométrique (comme dans la figure ci-dessous), on associe au point M un unique point M_1 du cercle trigonométrique.

La longueur de l'arc \stackrel{\frown}{AM_1} est |x|.

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L'image du réel

Avec les notations précédentes, on dit que le point M_1 est l'image du réel x sur le cercle trigonométrique.

Associer chaque point du cercle ci-contre à l'un des nombres réels suivants :

 

0;\dfrac{\pi}{2};\pi;2\pi;\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{6};\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4};\dfrac{5\pi}{3};\dfrac{3\pi}{2};3\pi

 

\dfrac{-\pi}{2};-\pi;- 2\pi;\dfrac{-\pi}{3};\dfrac{-\pi}{6};\dfrac{−2\pi}{3};\dfrac{-\pi}{4};\dfrac{−15\pi}{4};\dfrac{−16\pi}{3};\dfrac{13\pi}{2}

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On obtient le tableau suivant :

Réel 0 \dfrac{\pi}{ 2} \pi 2\pi \dfrac{\pi}{3} \dfrac{\pi}{6} \dfrac{2\pi}{3} \dfrac{\pi}{4} \dfrac{5\pi}{4} \dfrac{5\pi}{3} \dfrac{3\pi}{2}
Point A B A' A E C F D D' F' B'
Réel 3\pi \dfrac{-\pi}{2} -\pi −2\pi \dfrac{-\pi}{3} \dfrac{-\pi}{6} \dfrac{−2\pi}{3} \dfrac{-\pi}{4} \dfrac{−15\pi}{4} \dfrac{−16\pi}{3} \dfrac{13\pi}{2}
Point A' B' A' A F' H' E' G' D F B

Si le nombre x est associé au point M du cercle, alors les nombres réels x+2\pi, x−2\pi, x+4\pi, x−4\pi, ..., x+2k\pik est un entier relatif quelconque, sont associés au même point M  par « enroulement ». 

Donc à tout point M du cercle, on peut associer une infinité de réels.

Chaque point du cercle trigonométrique est l'image d'une infinité de nombres réels.

IV

Cosinus et sinus d'un nombre réel

A

Définitions

Soit x un réel et M l'image de x sur le cercle trigonométrique.

  • Le cosinus de x, noté \cos(x), est l'abscisse du point M dans le repère \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right), c'est-à-dire \left(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right).
  • Le sinus de x, noté \sin(x), est l'ordonnée du point M dans le repère \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right), c'est-à-dire \left(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right).
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Le point M associé au nombre réel x a donc pour coordonnées (\cos(x);\sin(x)) dans le repère \left(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right).

Soit x un nombre réel quelconque.

−1\leq \cos(x)\leq 1 et −1\leq \sin(x)\leq 1

  • Les coordonnées du point A sont (1;0)

On en déduit que \cos(0)=1 et \sin(0)=0.

  • Les coordonnées du point B sont (0;1)

On en déduit que \cos\left( \dfrac{\pi}{2}\right)=0 et \sin\left( \dfrac{\pi}{2}\right)=1.

  • Les coordonnées du point A' sont (−1;0)

On en déduit que \cos(\pi)=−1 et \sin(\pi)=0.

  • Les coordonnées du point B' sont (−1;0)

On en déduit que \cos\left( \dfrac{-\pi}{2}\right)=0 et \sin\left( \dfrac{-\pi}{2}\right)=−1.

  • Le point A est également l'image du nombre réel 2\pi.

On en déduit que \cos(2\pi)=1 et \sin(2\pi)=0.

  •  Le point A' est également l'image du nombre réel 3\pi.

On en déduit que \cos(3\pi)=−1 et \sin(3\pi)=0.

B

Lien avec le cosinus et le sinus dans un triangle rectangle

Les définitions du collège et du lycée correspondent donc pour les réels x compris entre 0 et \dfrac{\pi}{2} et l'angle en degrés associé.

Soit \alpha un angle aigu, assimilé à sa mesure en degrés, et x sa mesure en radians dans l'intervalle \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right].

Avec les notations de la figure ci-dessous, on a :

\cos(x)=OP et \sin(x)=OS=PM

Or, dans le triangle rectangle OPM, on a :

\cos\left( \widehat{POM}\right)=\dfrac{OP}{OM}=OP et \sin\left( \widehat{POM}\right)=\dfrac{PM}{OM}=PM

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C

Propriétés des cosinus et sinus

Soit x un nombre réel quelconque.

Alors, \cos^2(x)+\sin^2(x)=1.

Dans le repère \left( O;\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB}\right) , le point M a pour coordonnées \left( \cos(x);\sin(x)\right).

On a donc OM^2=\cos^2(x)+\sin^2(x).

Or, OM=1, donc OM^2=1 et \cos^2(x)+\sin^2(x)=1.

\cos^2(x) et \sin^2(x) sont des notations signifiant \left[\cos(x)\right]^2 et \left[\sin(x)\right]^2.

Soit x un réel quelconque et k un entier relatif quelconque.

Alors :

\cos(x+2k\pi)=\cos(x)

\sin(x+2k\pi)=\sin(x)

D

Démonstration de quelques valeurs

\sin\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

\cos\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}

\sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

On réutilise les notations précédentes.

  • Valeur de \sin\left( \dfrac{\pi}{4}\right).

Si x=\dfrac{\pi}{4}, alors \alpha=45^\circ et le triangle OPM est rectangle et isocèle en P.

De plus on a, d'après le théorème de Pythagore, OP^2+PM^2=OM^2.

Comme OP=PM et OM=1 (puisque le cercle trigonométrique est de rayon 1), on obtient 2PM^2=1, soit PM^2=\dfrac{1}{2} et PM=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

On obtient bien \sin\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

  • D'après ce qui précède, OP=PM,

donc on obtient également :

\cos\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

  • Valeurs de \cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right) et \sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right).

Notons I  le milieu du segment [OM].

Le triangle OPM étant rectangle, le point I  est le centre du cercle circonscrit au triangle OPM.

Ainsi IO=IP=IM.

Dans le triangle OPM rectangle en P, on a : 

\cos\left( \widehat{POM}\right)=\dfrac{OP}{OM}

\cos\left( \widehat{POM}\right)=\dfrac{OP}{2\times OI}

Or, le triangle OIP est isocèle en I  et \widehat{POI}=60^\circ.

C'est donc un triangle équilatéral.

En particulier, on obtient :

IO=OP

Par conséquent,

\cos\left( \widehat{POM}\right)=\dfrac{OP}{2\times OP}

\cos\left( \widehat{POM}\right)=\dfrac{1}{2}

Comme \cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\cos(60^\circ)

on a bien \cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}.

  • De plus \cos^2\left( \dfrac{\pi}{3}\right)+\sin^2\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=1.

Donc :

\sin^2\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=1-\left( \dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}

Comme \sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right)>0, on obtient bien :

\sin\left( \dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Les valeurs suivantes sont à connaître par cœur :

Réel x 0 \dfrac{\pi}{6} \dfrac{\pi}{4} \dfrac{\pi}{3} \dfrac{\pi}{2} \pi
\cos(x) 1 \dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{1}{2} 0 −1
\sin(x) 0 \dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{\sqrt{3}}{2} 1 0
E

Cosinus et sinus de quelques nombres réels associés

Soit x un réel quelconque.

\cos(\pi+x)=-\cos(x) et \sin(\pi+x)=-\sin(x)

\cos(\pi-x)=-\cos(x) et \sin(\pi-x)= \sin(x)

\cos(-x)=\cos(x) et \sin(-x)=-\sin(x)

\cos\left( \dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin(x) et \sin\left( \dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos(x)

 \cos\left( \dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x) et \sin\left( \dfrac{\pi}{2} - x\right)=\cos(x)

Voici une idée de la démonstration :

Soit M le point du cercle associé à un réel x, c'est-à-dire l'image du nombre réel x sur le cercle trigonométrique.

Alors, M', N, N', P et Q sont respectivement associés aux réels \pi+x, -x, \pi-x, x+\dfrac{\pi}{2} et x-\dfrac{\pi}{2}.

Le point N (image du réel -x) est le symétrique du point M par rapport à l'axe des abscisses.

Le point M' (image du réel \pi+x) est le symétrique du point M par rapport à l'origine du repère.

Le point N' (image du réel \pi-x) est le symétrique du point M par rapport à l'axe des ordonnées.

Le point Q (image du réel \dfrac{\pi}{2}-x) est le symétrique du point M par rapport à la droite d'équation y=x.

Le point P (image du réel \dfrac{\pi}{2}+x) est le symétrique du point N' par rapport à la droite d'équation y=-x.

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\sin\left( \dfrac{5\pi}{6}\right)=\sin\left( \pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\left( \dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}

 \cos\left( \dfrac{-\pi}{4}\right)=\cos\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

 \sin\left( \dfrac{-\pi}{2}\right)=-\sin\left( \dfrac{\pi}{2}\right)=−1

\cos\left( \dfrac{3\pi}{2}\right)=\cos\left( \dfrac{\pi}{2}+\pi\right)=-\cos\left( \dfrac{\pi}{2}\right)=0

 \sin\left( \dfrac{3\pi}{4}\right)=\sin\left( \pi-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

 \cos\left( \dfrac{5\pi}{3}\right)=\cos\left( 2\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left( \dfrac{-\pi}{4}\right)=\cos\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2}

V

Fonctions cosinus et sinus

A

Étude de la fonction sinus

Fonction sinus

On appelle fonction sinus, notée \sin, la fonction qui à chaque nombre réel x associe le réel \sin(x) défini précédemment.

L'ensemble de définition de la fonction sinus est \mathbb{R}.

Pour tout x\in \mathbb{R}, -x\in \mathbb{R} et \sin(-x)=-\sin(x).

La fonction sinus est donc impaire.

Graphiquement, la courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Pour tout x\in \mathbb{R}, x+2\pi\in \mathbb{R} et \sin(x+2\pi)=\sin(x).

La fonction sinus est périodique de période 2\pi.

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B

Étude de la fonction cosinus

Fonction cosinus

On appelle fonction cosinus, notée \cos, la fonction qui à chaque nombre réel x associe le réel \cos(x) défini précédemment.

L'ensemble de définition de la fonction sinus est \mathbb{R}.

Pour tout x\in \mathbb{R}, -x\in \mathbb{R} et \cos(-x)=\cos(x).

La fonction cosinus est donc paire.

Graphiquement, la courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Pour tout x\in \mathbb{R}, x+2\pi\in \mathbb{R} et \cos(x+2\pi)=\cos(x).

La fonction cosinus est périodique de période 2\pi.

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La courbe de la fonction cosinus est en fait l'image de la courbe de la fonction sinus par la translation de vecteur -\dfrac{\pi}{2}\overrightarrow{\imath}.

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