Etudier la dérivabilité de f en a en revenant au taux d'accroissement de f en a Exercice

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Dernière modification : 22/03/2019 - Conforme au programme 2018-2019

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -1 \right\} par f\left(x\right)=-\dfrac{3}{x+1}

f est-elle dérivable en 2 ?

Donc f est dérivable en 2 et f'\left(2\right)=\dfrac{1}{3} .

Donc f n'est pas dérivable en 2.

Pour étudier la dérivabilité de f en 2, il faut déterminer la limite de son taux d'accroissement en 2.

Etape 1

Calcul du taux d'accroissement

T_2\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}

T_2\left(x\right)=\dfrac{-\dfrac{3}{x+1}-\left(-\dfrac{3}{2+1}\right)}{x-2}

T_2\left(x\right)=\dfrac{-\dfrac{3}{x+1}+1}{x-2}

T_2\left(x\right)=\dfrac{-\dfrac{3}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+1}}{x-2}

T_2\left(x\right)=\dfrac{\dfrac{x-2}{x+1}}{x-2}

T_2\left(x\right)=\dfrac{x-2}{x+1}\times\dfrac{1}{x-2}

T_2\left(x\right)=\dfrac{1}{x+1}

Etape 2

Détermination de la limite

Or lorsque l'on remplace x par 2 dans le taux d'accroissement, on obtient \dfrac{1}{3}.

Donc le taux d'accroissement de f en 2 admet pour limite \dfrac{1}{3}.

Donc f est dérivable en 2 et f'\left(2\right)=\dfrac{1}{3} .

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}_+ par f\left(x\right)=\sqrt{x}

Que peut-on affirmer quant à la dérivabilité de f ?

f est dérivable en 9 et f'\left(9\right)=3

f est dérivable en 9 et f'\left(9\right)=\dfrac{1}{6}

f n'est pas dérivable en 9

f est dérivable en 9 et f'\left(9\right)=\dfrac{1}{3}

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}^* par f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}

Que peut-on affirmer quant à la dérivabilité de f ?

f est dérivable en −2 et f'\left(-2\right)=0

f est dérivable en −2 et f'\left(-2\right)=-\dfrac{1}{2}

f n'est pas dérivable en −2

f est dérivable en −2 et f'\left(-2\right)=-\dfrac{1}{4}

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=-2x^2-1

Que peut-on affirmer quant à la dérivabilité de f ?

f est dérivable en −4 et f'\left(-4\right)=16

f est dérivable en −4 et f'\left(-4\right)=-33

f n'est pas dérivable en −4

f est dérivable en 0 et f'\left(-4\right)=-16

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=-5x+9

Que peut-on affirmer quant à la dérivabilité de f ?

f est dérivable en 3 et f'\left(3\right)=-15

f est dérivable en 3 et f'\left(3\right)=-5

f n'est pas dérivable en 3

f est dérivable en 3 et f'\left(3\right)=-6

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^2+3

Que peut-on affirmer quant à la dérivabilité de f ?

f est dérivable en 0 et f'\left(0\right)=0

f est dérivable en 0 et f'\left(0\right)=2

f n'est pas dérivable en 0

f est dérivable en 0 et f'\left(0\right)=3

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=-3x^2+7

f est-elle dérivable en -1 ?

Donc f est dérivable en −1 et f'\left(-1\right)=6 .

Donc f n'est pas dérivable en −1.

Pour étudier la dérivabilité de f en -1, il faut déterminer la limite de son taux d'accroissement en -1.

Etape 1

Calcul du taux d'accroissement

T_{-1}\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}

T_{-1}\left(x\right)=\dfrac{-3x^2+7-\left(-3\times\left(-1\right)^2+7\right)}{x+1}

T_{-1}\left(x\right)=\dfrac{-3x^2+7+3-7}{x+1}

T_{-1}\left(x\right)=\dfrac{-3x^2+3}{x+1}

T_{-1}\left(x\right)=\dfrac{-3\left(x^2-1\right)}{x+1}

T_{-1}\left(x\right)=\dfrac{-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x+1}

T_{-1}\left(x\right)=-3\left(x-1\right)

T_{-1}\left(x\right)=-3x+3

Etape 2

Détermination de la limite

Or lorsque l'on remplace x par -1 dans le taux d'accroissement, on obtient 6.

Donc le taux d'accroissement de f en -1 admet pour limite 6.

Donc f est dérivable en -1 et f'\left(-1\right)=6 .