Soient A, B, C, D et E cinq points du plan tels que : \overrightarrow{CB}=\dfrac{5}{2}\overrightarrow{CD} et \overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}.
Quelle relation vectorielle permet de montrer que les droites \left(AE\right) et \left(CD\right) sont parallèles ?
Soient A, B, C, D et E quatre points du plan tels que : \overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{BA} et 5\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AE}.
Quelle relation vectorielle permet de montrer que les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles ?
Soient P, Q, R, S et T cinq points du plan tels que : \overrightarrow{PR}=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{QT} et \overrightarrow{PS}=\dfrac{9}{5}\overrightarrow{PR}.
Quelle égalité vectorielle permet de montrer que les droites \left(PS\right) et \left(TQ\right) sont parallèles ?
Soient A, B, C, M et N cinq points du plan tels que : \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{BC} et \overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}.
Les droites \left(CM\right) et \left(BN\right) sont-elles parallèles ?
Les droites \left(CM\right) et \left(BN\right) sont parallèles si et seulement s'il existe une relation de la forme \overrightarrow{CM}=k\times\overrightarrow{BN}.
On a :
- \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{BC}
- \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}
On remarque que : \overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{BN}
Les droites \left(CM\right) et \left(BN\right) sont donc parallèles.
Soient A, B, C, D et E cinq points du plan tels que : \overrightarrow{CE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CE}.
Les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont-elles parallèles ?
Les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement s'il existe une relation de la forme \overrightarrow{AB}=k\times\overrightarrow{CD}.
On a :
- \overrightarrow{CE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}
- \overrightarrow{CD}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CE}
D'où :
\overrightarrow{CD}=-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}
Soit :
\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{CD}
Les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont donc parallèles.
Soient A, B, C, D, E et F six points du plan tels que : \overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB} et 2\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AF}.
Les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont-elles parallèles ?
Les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement s'il existe une relation de la forme \overrightarrow{AB}=k\times\overrightarrow{CD}.
On a :
- \overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}, c'est-à-dire \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}
- 2\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AF}, c'est-à-dire \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AE}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AF}
On remarque que : \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}
Les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont donc parallèles.
Soient A, B, C, D et E cinq points du plan tels que : \overrightarrow{AC}=5\overrightarrow{AE} et \overrightarrow{DB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}.
Les droites \left(DB\right) et \left(AE\right) sont-elles parallèles ?
Les droites \left(DB\right) et \left(AE\right) sont parallèles si et seulement s'il existe une relation de la forme \overrightarrow{DB}=k\times\overrightarrow{AE}.
On a :
- \overrightarrow{AC}=5\overrightarrow{AE}
- \overrightarrow{DB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}, c'est-à-dire 3\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}
On a donc :
3\overrightarrow{DB}=5\overrightarrow{AE}
\overrightarrow{DB}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AE}
Les droites \left(DB\right) et \left(AE\right) sont donc parallèles.
Soient B, F, G, I, et U cinq points du plan tels que : \overrightarrow{GF}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IB} et \overrightarrow{IB}=\dfrac{12}{13}\overrightarrow{IU}.
Les droites \left(GF\right) et \left(UI\right) sont-elles parallèles ?
Les droites \left(GF\right) et \left(UI\right) sont parallèles si et seulement s'il existe une relation de la forme \overrightarrow{GF}=k\times\overrightarrow{UI}.
On a :
- \overrightarrow{IB}=\dfrac{12}{13}\overrightarrow{IU}
- \overrightarrow{GF}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IB}
Ainsi :
\overrightarrow{GF}=-\dfrac{1}{3}\times\left(-\dfrac{12}{13}\right)\overrightarrow{UI}
\overrightarrow{GF}=\dfrac{12}{39}\overrightarrow{UI}=\dfrac{4}{13}\overrightarrow{UI}
Les droites \left(GF\right) et \left(UI\right) sont donc parallèles.