Les vecteursCours

I

Les vecteurs du plan

A

La translation

Translation

Soient A et B deux points distincts du plan. La translation qui transforme A en B est une transformation du plan qui à tout point C associe le point D tel que \left[ AD \right] et \left[ BC \right] ont même milieu.

Cette transformation est appelée translation de vecteur \overrightarrow{AB}.

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Soient A et B deux points distincts du plan. Le point D est l'image du point C par la translation de vecteur \overrightarrow{AB} si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

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B

Les propriétés

Vecteur

Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par :

  • Une direction
  • Un sens
  • Une norme

On le représente par une flèche.

Soient deux points A et B, et soit \overrightarrow{u} le vecteur correspondant à la translation qui transforme A en B.

  • Le vecteur \overrightarrow{AB} est un représentant du vecteur \overrightarrow{u}.
  • La direction du vecteur \overrightarrow{u} est celle de la droite \left( AB \right).
  • Le sens du vecteur \overrightarrow{u} est le sens de l'origine A vers l'extrémité B.
  • La norme du vecteur \overrightarrow{u} est la longueur AB du segment \left[ AB \right]. On la note \left\| \overrightarrow{u} \right\|=\left\| \overrightarrow{AB} \right\|=AB.
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Définir un vecteur revient à définir une translation.

Sur la figure ci-dessous, les points A', B' et C' sont les images respectives des points A, B et C par la translation de vecteur \overrightarrow{u}.

\overrightarrow{AA'}, \overrightarrow{BB'} et \overrightarrow{CC'} sont donc des représentants du vecteur \overrightarrow{u}. On écrit alors :

\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}

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Un vecteur admet une infinité de représentants.

Vecteur nul

Un vecteur de norme zéro est appelé vecteur nul, et noté \overrightarrow{0}.

Quel que soit le point A du plan, on a \overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}.

Opposé d'un vecteur

Soient A et B deux points du plan. Le vecteur \overrightarrow{BA} est l'opposé du vecteur \overrightarrow{AB}. On note \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}.

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ABCD est un losange de centre O.

\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont deux vecteurs opposés. On note :

\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont égaux :

  • Si et seulement si \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} ont même direction, même sens et même norme.
  • Si et seulement si D est l'image de C par la translation de vecteur \overrightarrow{AB}.
  • Si et seulement si les segments \left[ AD \right] et \left[ BC \right] ont même milieu
  • Si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati)
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ABCD est un losange de centre O. \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{DC} sont des vecteurs égaux.

M est le milieu de \left[ AB\right] si et seulement si \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}.

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C

Opérations sur les vecteurs

Somme de vecteurs

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs. La somme des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} est le vecteur \overrightarrow{w} associé à la translation résultant de l'enchaînement des translations de vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}. On note \overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}.

Relation de Chasles

Soient A, B et C trois points distincts du plan. Alors :

\overrightarrow{A{\textcolor{Red}B}} + \overrightarrow{{\textcolor{Red}B}C} =\overrightarrow{AC}

Cette relation n'est pas vérifiée pour les distances (en général, AB + BC \neq AC ).

Pour dessiner un représentant de la somme \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}, on peut positionner des représentants des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} bout à bout et déterminer un représentant du vecteur somme à l'aide de la relation de Chasles.

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Pour dessiner un représentant de la somme \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}, on peut positionner des représentants des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} à partir de la même origine, et construire un parallélogramme dont un représentant du vecteur somme est une "diagonale".

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Produit d'un vecteur par un réel

Le produit d'un vecteur \overrightarrow{u} par un réel k est un vecteur noté k\overrightarrow{u} dont les caractéristiques sont les suivantes :

  • k\overrightarrow{u} a la même direction que \overrightarrow{u} ;
  • k\overrightarrow{u} a le même sens que \overrightarrow{u} si k est positif ou le sens contraire de \overrightarrow{u} si k est négatif ;
  • La norme de k\overrightarrow{u} est égale à \left| k \right|\times \left\| \overrightarrow{u} \right\|.

Sur la figure ci-dessous, B est le milieu de [AC] donc les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ont la même direction et le même sens. De plus, la longueur AB est la moitié de la longueur AC.

On peut donc écrire : \overrightarrow{AB}=\dfrac12 \overrightarrow{AC}.

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Soient k un réel, \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs. On a :

  • \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} =\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}
  • 0 \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}
  • k \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}
  • k \left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\right) =k \overrightarrow{u} + k \overrightarrow{v}

Pour tout point M du plan, on peut écrire :

k\overrightarrow{AB}=k\left( \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB} \right)=k\overrightarrow{AM}+k\overrightarrow{MB}

II

Les coordonnées cartésiennes dans le repère

Le plan est rapporté à un repère \left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right).

A

Les coordonnées d'un point

Coordonnées d'un point

Soit un point M du plan.
Il existe un unique couple de réels \left(x ; y\right) tels que :

\overrightarrow{OM} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}

On appelle coordonnées de M dans le repère \left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right) le couple \left(x ; y\right).

Si \overrightarrow{OA}=5\overrightarrow{i}-\dfrac13\overrightarrow{j}, alors les coordonnées de A sont \left( 5;-\dfrac13 \right).

Abscisse et ordonnée

Avec les notations précédentes, le réel x est l'abscisse et le réel y est l'ordonnée du point M.

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Dans le repère ci-dessus, on a \overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}.

Le point M a donc pour coordonnées M\left( 2,2 \right).

B

Les coordonnées d'un vecteur

Coordonnées d'un vecteur

Soit \overrightarrow{u} un vecteur du plan.
Il existe un unique couple de réels \left(x ; y\right) tels que :

\overrightarrow{u} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}

On appelle coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} dans le repère \left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right) le couple \left(x ; y\right).

Si \overrightarrow{AB}=\dfrac56\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}, alors les coordonnées de \overrightarrow{AB} sont \left( \dfrac56;-3 \right).

Abscisse et ordonnée

Avec les notations précédentes, le réel x est l'abscisse et le réel y est l'ordonnée du vecteur \overrightarrow{u}.

A la différence d'un point, un vecteur du repère n'est pas "fixe" puisqu'il admet une infinité de représentants.

Coordonnées d'un vecteur

Soient deux points du plan A \left(x_{A} ; y_{A}\right) et B \left(x_{B} ; y_{B}\right).
Les coordonnées \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} du vecteur \overrightarrow{AB} vérifient :

x = x_{B} - x_{A}

y = y_{B} - y_{A}

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On considère les points A\left(\textcolor{Blue}{2};\textcolor{Red}{2}\right) et B\left(\textcolor{Blue}{4};\textcolor{Red}{5}\right).

On en déduit :

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} \textcolor{Blue}{4-2} \cr \textcolor{Red}{5-2} \end{pmatrix}

Finalement :

\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 2 \cr 3 \end{pmatrix}

On a bien :

\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}

Soient \overrightarrow{u} un vecteur du plan de coordonnées \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} un vecteur du plan de coordonnées \begin{pmatrix} x^{'} \cr y^{'} \end{pmatrix}.

Pour tout réel k, le vecteur k\overrightarrow{u} a pour coordonnées \begin{pmatrix}k x \cr k y \end{pmatrix}.

Le vecteur \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} a pour coordonnées \begin{pmatrix} x+x^{'} \cr y+y^{'} \end{pmatrix}.

Si le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées \begin{pmatrix} 5 \cr -2 \end{pmatrix} alors le vecteur -3\overrightarrow{AB} a pour coordonnées \begin{pmatrix}-3\times 5 \cr -3\times\left(-2\right) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-15 \cr 6 \end{pmatrix}.

Si le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées \begin{pmatrix} 5 \cr -2 \end{pmatrix} et le vecteur \overrightarrow{CD} a pour coordonnées \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \end{pmatrix} alors le vecteur \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD} a pour coordonnées \begin{pmatrix}5-1 \cr -2+3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \cr 1 \end{pmatrix}.

III

Les vecteurs colinéaires

A

Définition

Vecteurs colinéaires (1)

Deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k  non nul tel que :

\overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v}

Sur la figure ci-dessous, B est le milieu de [AC]. On peut donc écrire : \overrightarrow{AB}=\dfrac12 \overrightarrow{AC}.

Ainsi les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires.

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Vecteurs colinéaires (2)

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs directions sont parallèles.

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Sur la figure ci-dessus, les deux vecteurs ont des directions parallèles et sont donc colinéaires.

Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan.

  • Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.
  • Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont colinéaires.

Dans le trapèze ABCD ci-dessous, les droites (BC) et (AD) sont parallèles. Les vecteurs \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{AD} sont donc colinéaires.

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Soient les vecteurs \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr -4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -5 \cr 20 \end{pmatrix}. On peut remarquer que \overrightarrow{AC}=-5\overrightarrow{AB}. Donc les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires et les points A, B et C sont alignés.

B

La caractérisation analytique

Caractérisation analytique

Deux vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si :

xy' = x'y

Cela revient à montrer que xy' - x'y = 0.

Les vecteurs \overrightarrow{u} \left(\textcolor{Blue}{2} ; \textcolor{Red}{-1}\right) et \overrightarrow{v} \left(\textcolor{Red}{-6} ; \textcolor{Blue}{3}\right) sont-ils colinéaires ?

Pour le savoir, on calcule :

\textcolor{Blue}{2 \times 3} - \textcolor{Red}{\left(-1\right) \times \left(-6\right)} = 6 - 6 = 0

Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont donc colinéaires.