On considère un triangle ABC, et M un point quelconque du plan qui n'est donc pas affiché car pouvant être n'importe où. Soit G le centre de gravité du triangle ABC.
On appelle :
- A′ le milieu de \left[BC\right] ;
- B′ le milieu de \left[AC\right] ;
- C′ le milieu de \left[AB\right].
Quelle égalité vectorielle est vérifiée ?
Quelle égalité vectorielle est vérifiée ?
On sait que le centre de gravité d'un triangle est situé aux deux tiers de chacune des médianes à partir du sommet.
On a donc : AG=\dfrac{2}{3}AA'
Les points A, G et A′ étant alignés dans ce sens, on en déduit l'égalité vectorielle :
\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}
Quelle égalité vectorielle est vérifiée ?
D'après le résultat précédent, on a :
\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}
Soit d'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA'}\right)
\Leftrightarrow\overrightarrow{AG}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{GA'}
\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{GA'}
\Leftrightarrow\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GA'}
\Leftrightarrow-\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{GA'}
\Leftrightarrow\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GA'}
\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GA'}
Quelle égalité vectorielle est vérifiée ?
D'après le résultat précédent, on a :
\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}
De plus, A′ étant le milieu du segment \left[BC\right], la propriété des diagonales du parallélogramme permet d'écrire :
\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GA'}
On a finalement :
\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{GA'}+2\overrightarrow{GA'}
Donc : \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}
Quelle égalité vectorielle est vérifiée ?
D'après le résultat précédent, on a :
\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}
D'après la relation de Chasles, on peut écrire :
\left(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MA}\right)+\left(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MC}\right)=\overrightarrow{0}
\Leftrightarrow3\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}++\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}
\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}++\overrightarrow{MC}=-3\overrightarrow{GM}
Donc \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}