On considère un triangle quelconque ABD. Soient I le milieu de \left[AB\right] et J le milieu de \left[AD\right].
On se place dans le repère \left(A;I;J\right).
Quelles sont les coordonnées des points A, B et D ?
Dans le repère \left(A;I;J\right), A est l'origine, donc A \left(0;0\right).
Le point B :
- Se situe sur l'axe des abscisses \left(AI\right), son ordonnée vaut donc 0
- Vérifie \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}, son abscisse vaut donc 2
De même, le point D :
- Se situe sur l'axe des ordonnées \left(AJ\right), son abscisse vaut donc 0
- Vérifie \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AJ}, son ordonnée vaut donc 2
On a finalement : A \left(0;0\right), B \left(2;0\right) et D \left(0;2\right).
Quelles sont les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} ?
Les coordonnées de \overrightarrow{AB} sont :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix}
Soit \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 0 \end{pmatrix}
De même :
\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 2 \end{pmatrix}
Finalement :
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} 2+0 \cr\cr 0+2 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 2 \end{pmatrix}
Quelles sont les coordonnées du point C tel que ABCD soit un parallélogramme ?
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si : \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.
On doit donc avoir : \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 2 \end{pmatrix}.
Or les coordonnées de \overrightarrow{AC} sont :
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_{C}-x_{A} \cr\cr y_{C}-y_{A} \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_{C}-0 \cr\cr y_{C}-0 \end{pmatrix}
On a donc :
- x_{C}=2
- y_{C}=2
Pour que ABCD soit un parallélogramme, on doit avoir C \left(2;2\right).
Quelle serait la nature du quadrilatère ABCD ainsi construit si le triangle ABD était rectangle en A ? Rectangle isocèle en A ?
Si ABD était rectangle en A
Dans ce cas de figure, le repère \left(A;I;J\right) est orthogonal et ABCD est un parallélogramme possédant un angle droit.
Ce serait donc un rectangle.
Si ABD était rectangle isocèle en A
Dans ce cas de figure, le repère \left(A;I;J\right) est orthonormal et ABCD est un parallélogramme possédant un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur (AB et AD).
Ce serait donc un carré.