Caractériser le milieu par une égalité vectorielle Exercice

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Dernière modification : 26/10/2018 - Conforme au programme 2018-2019

Soient A, B deux points du plan.

Quel est le point G tel que \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0} ?

G est le milieu du segment \left[AB\right].

G est le point de [AB] tel que \overrightarrow{AG}=\dfrac 1 3 \overrightarrow{AB}

G est le point de [AB] tel que \overrightarrow{AG}=\dfrac 2 3 \overrightarrow{AB}

G est le point de [AB] tel que \overrightarrow{AG}=-\dfrac 1 2 \overrightarrow{AB}

Comme \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}, on a donc \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GB}.

Par conséquent, les points A, G et B sont alignés et AG=GB.

Donc G est le milieu du segment \left[AB\right].

Soient A, B, M trois points du plan.

Quel est le point I tel que \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI} ?

I est le point de [AB] tel que \overrightarrow{AI}=-\dfrac 1 2 \overrightarrow{AB}

I est le milieu du segment \left[AB\right].

I est le point de [AB] tel que \overrightarrow{AI}=\dfrac 2 3 \overrightarrow{AB}

I est le point de [AB] tel que \overrightarrow{AI}=\dfrac 1 3 \overrightarrow{AB}

D'après la relation de Chasles,

\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} et \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}, donc :

\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}

\Leftrightarrow \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{MI}

Et donc \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}, on a donc \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}.

Par conséquent, les points A, I et B sont alignés et AI=IB.

Donc I est le milieu du segment \left[AB\right].

Soient A, B deux points du plan.

Quel est le point I tel que \overrightarrow{IB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} ?

I est le point de [AB] tel que \overrightarrow{AI}=-\dfrac 1 2 \overrightarrow{AB}

I est le milieu du segment \left[AB\right].

I est le point de [AB] tel que \overrightarrow{AI}=\dfrac 2 3 \overrightarrow{AB}

I est le point de [AB] tel que \overrightarrow{AI}=\dfrac 1 3 \overrightarrow{AB}

On a \overrightarrow{IB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.

D'après la relation de Chasles,

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} donc \overrightarrow{IB}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}\right)=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AI}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{IB}

c'est-à-dire \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}. D'où \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}.

Par conséquent, les points A, I et B sont alignés et AI=IB.

Donc I est le milieu du segment \left[AB\right].

Soient P, Q deux points du plan.

Quel est le point R tel que \overrightarrow{PR}=\overrightarrow{RQ} ?

R est le point de [QP] tel que \overrightarrow{QR}=-\dfrac 1 2 \overrightarrow{QP}

R est le point de [QP] tel que \overrightarrow{QR}=\dfrac 2 3 \overrightarrow{QP}

R est le point de [QP] tel que \overrightarrow{QR}=\dfrac 1 3 \overrightarrow{QP}

R est le milieu du segment \left[PQ\right].

Comme \overrightarrow{PR}=\overrightarrow{RQ}, les points P, R et Q sont alignés et PR=RQ.

Donc R est le milieu du segment \left[PQ\right].

Soient X, Y deux points du plan.

Quel est le point Z tel que \overrightarrow{XY}=2\overrightarrow{XZ} ?

Z est le point de [QP] tel que \overrightarrow{XZ}=-\dfrac 1 2 \overrightarrow{XY}

Z est le point de [QP] tel que \overrightarrow{XZ}=\dfrac 1 3 \overrightarrow{XY}

Z est le point de [QP] tel que \overrightarrow{XZ}=\dfrac 2 3 \overrightarrow{XY}

Z est le milieu du segment \left[XY\right].

On a \overrightarrow{XY}=2\overrightarrow{XZ}.

D'après la relation de Chasles,

\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{ZY} donc \overrightarrow{XZ}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{ZY}\right)=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{XZ}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{ZY}

c'est-à-dire \overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{ZY}=\overrightarrow{0}. D'où \overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{ZY}.

Par conséquent, les points X, Z et Y sont alignés et XZ=ZY.

Donc Z est le milieu du segment \left[XY\right].

Soient F, G deux points du plan.

Quel est le point H tel que \overrightarrow{HF}=-\overrightarrow{HG} ?

H est le point de [QP] tel que \overrightarrow{FH}=\dfrac 1 3 \overrightarrow{FG}

H est le point de [QP] tel que \overrightarrow{FH}=\dfrac 2 3 \overrightarrow{FG}

H est le milieu du segment \left[FG\right].

H est le point de [QP] tel que \overrightarrow{FH}=-\dfrac 1 2 \overrightarrow{FG}

\overrightarrow{HF}=-\overrightarrow{HG}\Leftrightarrow\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{HG}

Comme \overrightarrow{FH}=\overrightarrow{HG}, les points F, H et G sont alignés et FH=HG.

Donc H est le milieu du segment \left[FG\right].