Reconnaître et utiliser une loi uniforme Exercice

D'après le cours, on sait que la loi uniforme sur \left[ a;b \right] admet pour fonction de densité la fonction f telle que :

\begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{b-a} \;si \; x \in\left[ a;b \right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ a;b \right] \end{cases}

Or ici, X suit la loi uniforme sur \left[5; 45 \right].

On en déduit que la fonction suivante est une densité de X :

\begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{45-5} \;si \; x \in\left[ 5;45 \right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ 5;45 \right] \end{cases}

La probabilité que le lycéen mette moins de 25 minutes pour se rendre en cours est P\left(X\lt 25\right).

Or on sait que :

P\left(X\lt 25\right)=P\left(X\leq 25\right) = P\left(5 \leq X\leq 25\right) = \int_5^{25} f\left(x\right)dx

Ainsi :

P\left(X\lt 25\right) = \int_5^{25} \dfrac{1}{40}dx

P\left(X\lt 25\right)= \left[ \dfrac{x}{40} \right]_5^{25}

P\left(X\lt 25\right) = \dfrac{25}{40} -\dfrac{5}{40}

P\left(X\lt 25\right) = \dfrac{1}{2}

La probabilité que le lycéen mette plus de 30 minutes est P\left(X\gt 30\right).

Or on sait que :

P\left(X\gt 30\right)=P\left(X\geq 30\right) = P\left(30 \leq X\leq 45\right) = \int_{30}^{45} f\left(x\right)dx

On obtient :

P\left(X\gt 30\right) = \int_{30}^{45} \dfrac{1}{40}dx

P\left(X\gt 30\right)= \left[ \dfrac{x}{40} \right] _{30}^{45}

P\left(X\gt 30\right) =\dfrac{45}{40} - \dfrac{30}{40}

P\left(X\gt 30\right)=\dfrac{3}{8}

Le temps moyen d'attente de l'usager est l'espérance E\left(X\right) de la variable aléatoire X.

Or, d'après le cours, on sait que l'espérance E\left(X\right) de la variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur l'intervalle \left[ a;b \right] est :

E\left(X\right) = \dfrac{a+b}{2}

Ici, X est la variable suivant la loi uniforme sur l'intervalle \left[ 5;45 \right].

On en déduit que :

E\left(X\right) = \dfrac{5+45}{2}

E\left(X\right) = \dfrac{50}{2}