On considère l'inéquation trigonométrique suivante :
\cos\left(x\right) \geq 1
Quel est l'ensemble S_1 des solutions de l'inéquation dans \left[ 0 ; 2\pi \right] ?
On sait que 1 = \cos\left(0\right)=\cos\left(2\pi\right).
Afin de résoudre l'équation sur \left[ 0; 2\pi\right] on représente le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :
On a ainsi identifié l'ensemble des points du cercle qui correspondent aux réels x tels que \cos\left(x\right) \geq 1.
L'ensemble des solutions S_1 de l'équation sur \left[ 0; 2\pi \right] est donc :
S_1 =\left\{ 0{,}2\pi \right\}
Quel est l'ensemble S_2 des solutions de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] ?
On remarque que 0 appartient aussi à l'intervalle \left[ -\pi ; \pi \right].
L'ensemble des solutions S_2 de l'équation sur \left[-\pi ; \pi \right] est donc :
S_2 =\left\{ 0 \right\}
Quel est l'ensemble S_3 des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} ?
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[ -\pi ; \pi \right] est :
S_2 = \left\{ 0 \right\}
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est :
\left\{0 + k2\pi, k\in\mathbb{Z}\right\}
S_3=\left\{0 + k2\pi, k\in\mathbb{Z}\right\}