On considère l'inéquation trigonométrique suivante :
\cos\left(x\right) \leq -\dfrac{\sqrt2}{2}
Quel est l'ensemble S_1 des solutions de l'inéquation dans \left[ 0 ; 2\pi \right] ?
On sait que :
-\dfrac{\sqrt2}{2}= \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)
On sait qu'une autre mesure d'un angle de mesure -\dfrac{3\pi}{4} est -\dfrac{3\pi}{4} +2\pi = \dfrac{5\pi}{4}.
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right] on représente le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :
On a ainsi identifié l'ensemble des points du cercle qui correspondent aux réels tels que \cos\left(x\right) \leq -\dfrac{\sqrt2}{2}.
L'ensemble des solutions S_1 de l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi \right] est donc :
S_1 = \left[ \dfrac{3\pi}{4} ; \dfrac{5\pi}{4} \right]
Quel est l'ensemble S_2 des solutions de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] ?
De nouveau, on trace le cercle trigonométrique, cette fois-ci en faisant apparaître l'angle -\dfrac{3\pi}{4} qui appartient à l'intervalle recherché.
Sur \left[-\pi ; \pi \right] :
- On part de -\pi, qui appartient à l'ensemble des solutions sur \left[-\pi ; \pi \right].
- On va jusqu'en -\dfrac{3\pi}{4}, première solution de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
- On part ensuite de de \dfrac{3\pi}{4}, dernière solution de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
- On va jusqu'en \pi, qui appartient à l'ensemble des solutions sur \left[-\pi ; \pi \right].
L'ensemble des solutions S_2 de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] est donc :
S_2 = \left[-\pi ; -\dfrac{3\pi}{4} \right] \cup \left[ \dfrac{3\pi}{4} ; \pi\right]
Quel est l'ensemble S_3 des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} ?
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[ 0 ; 2\pi \right] est :
S_1 = \left[ \dfrac{3\pi}{4} ; \dfrac{5\pi}{4} \right]
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est la réunion des intervalles de la forme :
\left[\dfrac{3\pi}{4}+ k2\pi ; \dfrac{5\pi}{4} + k2\pi\right], k\in\mathbb{Z}
S_3 =\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left[\dfrac{3\pi}{4}+ k2\pi ; \dfrac{5\pi}{4} + k2\pi\right]