On appelle f la fonction carré, définie sur \mathbb{R}. Sa courbe est représentée ci-dessous.
Quelle est l'image de l'intervalle \left[0;3\right] par la fonction f ?
On cherche les images des réels de l'intervalle \left[0;3\right] par la fonction carré :
0\leqslant x\leqslant3
Tous les membres de cette inéquation étant positifs, on peut les élever au carré :
0\leqslant x^{2}\leqslant9
Soit : 0\leqslant f\left(x\right) \leqslant9
De plus, on remarque par lecture graphique que pour x situé entre 0 et 3, la fonction carré prend toutes les valeurs réelles entre 0 et 9.
On en déduit que l'image de l'intervalle \left[0;3 \right] par f est l'intervalle \left[0;9 \right].
Quelle est l'image de l'intervalle \left[-2;4 \right] par la fonction f ?
Pour pouvoir composer une inégalité par la fonction carré, il faut que tous ses membres soient de même signe.
On étudie donc séparément les images par f des intervalles :
- \left[-2;0\right]
- \left[0;4\right]
Image de \left[-2;0 \right] par f
-2\leqslant x \leqslant0
Les membres étant tous négatifs, le signe de l'inégalité change par élévation au carré :
0\leqslant x^{2} \leqslant4
On en déduit que l'image de l'intervalle \left[-2;0\right] par f est l'intervalle \left[0;4\right]
Image de \left[0;4\right] par f
0\leqslant x \leqslant4
On obtient par élévation au carré :
0\leqslant x^{2} \leqslant16
On en déduit que l'image de l'intervalle \left[0;4\right] par f est l'intervalle \left[0;16\right]
L'intervalle \left[0;4 \right] étant inclus dans l'intervalle \left[0;16 \right], on en déduit finalement que l'image de l'intervalle \left[-2;4 \right] par f est l'intervalle \left[0;16 \right].
Quels sont les antécédents des réels de l'intervalle \left[0;9\right] par f ?
On cherche les antécédents des réels de l'intervalle \left[0;9 \right] par la fonction carré.
Comme f est croissante sur \mathbb{R}^{+} ,on en déduit que les réels de l'intervalle \left[0;3\right] sont les antécédents des réels de l'intervalle \left[0;9 \right] par la fonction carré sur \mathbb{R}^{+}
De plus, la fonction carré ayant un comportement symétrique par rapport à 0, on en déduit que les réels de l'intervalle \left[-3;0 \right] sont les antécédents des réels de l'intervalle \left[0;9 \right] par la fonction carré sur \mathbb{R}^{-}.
Finalement, les antécédents des réels de l'intervalle \left[0;9 \right] par f sont les réels de l'intervalle \left[-3;3 \right].
Quels sont les antécédents des réels de l'intervalle \left]-\infty;4 \right] par f ?
On cherche les antécédents des réels de l'intervalle \left]-\infty;4 \right] par la fonction carré.
Sachant qu'un carré est toujours positif ou nul, on en déduit tout d'abord que les réels de l'intervalle \left]-\infty;0 \right[ ne possèdent pas d'antécédent par la fonction carré.
Enfin, il reste à déterminer les antécédents des réels de l'intervalle \left[0;4 \right] par la fonction carré.
On en déduit que les antécédents des réels de l'intervalle \left[0;4 \right] par la fonction carré sont les réels de l'intervalle \left[-2;2 \right].
Les antécédents des réels de l'intervalle \left]-\infty;4 \right] par la fonction carré sont \left[-2;2 \right].