Sur quel intervalle la courbe associée à la fonction f d'expression f(x) = x est-elle au-dessus de la courbe associée à la fonction g d'expression g(x) = x^2 ?
Pour étudier la position relative de deux courbes, on étudie le signe de la différence entre les expressions associées aux fonctions.
Ainsi, si f \geq g sur un intervalle, alors la courbe représentative de f est au-dessus de celle de g sur cet intervalle.
On étudie :
f(x) - g(x) = x - x^2 = x(1 - x)
On a :
f(x) - g(x) \geq 0 \Leftrightarrow x(1-x) \geq 0
Comme 1-x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 1 , on a le tableau de signes suivant :
On déduit que :
f(x) - g(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in [0;1]
La courbe représentative de x \mapsto x est donc au-dessus de celle de x \mapsto x^2 sur [0;1] .
Sur quel intervalle la courbe associée à la fonction f d'expression f(x) = x^2 est-elle au-dessus de la courbe associée à la fonction g d'expression g(x) = x^3 ?
Pour étudier la position relative de deux courbes, on étudie le signe de la différence entre les expressions associées aux fonctions.
Ainsi, si f \geq g sur un intervalle, alors la courbe représentative de f est au-dessus de celle de g sur cet intervalle.
On étudie :
f(x) - g(x) = x^2 - x^3 = x^2(1 - x)
Comme x^2 est toujours positif, f(x) - g(x) est du signe de 1-x :
f(x) - g(x) \geq 0 \Leftrightarrow 1-x \geq 0
f(x) - g(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 1
Ainsi, la courbe de f est au-dessus de celle de g pour des valeurs de x plus petites que 1 :
La courbe représentative de x \mapsto x^2 est donc au-dessus de celle de x \mapsto x^3 sur ]-\infty;1] .
Sur quel intervalle la courbe associée à la fonction f d'expression f(x) = x est-elle au-dessus de la courbe associée à la fonction g d'expression g(x) = x^3 ?
Pour étudier la position relative de deux courbes, on étudie le signe de la différence entre les expressions associées aux fonctions.
Ainsi, si f \geq g sur un intervalle, alors la courbe représentative de f est au-dessus de celle de g sur cet intervalle.
On étudie :
f(x) - g(x) = x - x^3 = x(1 - x^2) = x(1+x)(1-x)
On a :
1+x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -1
et
1-x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 1
On dresse le tableau de signes suivant :
La courbe représentative de x \mapsto x est donc au-dessus de celle de x \mapsto x^3 sur ]-\infty;-1] \cup [0;1] .