On se place dans un repère orthonormal.
On considère les points suivants : A\left(9;8\right), B\left(5;7\right), C\left(10;4\right), D\left(3;-2\right). Soit J le milieu du segment \left[BC\right].
A et D appartiennent-ils à la médiatrice de \left[BC\right] ?
La médiatrice d'un segment est formée de l'ensemble des points situés à égale distance des extrémités de ce segment.
Calcul de AB et AC
AB^{2}=\left(5-9\right)^{2}+\left(7-8\right)^{2}=16+1=17.
D'où :
AB=\sqrt{17}.
AC^{2}=\left(10-9\right)^{2}+\left(4-8\right)^{2}=1+16=17.
D'où :
AC=\sqrt{17}.
On a donc AB=AC,
Cela signifie que le point A est à égale distance des points B et C. Donc A appartient à la médiatrice de \left[BC\right].
Calculs de DB et DC
DB^{2}=\left(5-3\right)^{2}+\left(7+2\right)^{2}=4+81=85.
D'où :
DB=\sqrt{85}.
DC^{2}=\left(10-3\right)^{2}+\left(4+2\right)^{2}=49+36=85.
D'où :
DC=\sqrt{85}.
On a donc DB=DC
Cela signifie que le point D est à égale distance des points B et C. Donc D appartient à la médiatrice de \left[BC\right].
Les points A et D appartiennent donc à la médiatrice de \left[BC\right].
Les points A, D et J sont-ils alignés ?
J étant le milieu de \left[BC\right], il appartient également à la médiatrice de \left[BC\right].
Appartenant tous trois à la médiatrice de \left[BC\right], les points A, D et J sont donc alignés.
Quelle est la nature du triangle ABC ?
On peut calculer le carré des longueurs des côtés du triangle ABC :
- AB^{2}=17
- AC^{2}=17
- BC^{2}=\left(10-5\right)^{2}+\left(4-7\right)^{2}=25+9=34
On remarque que BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut donc en conclure que le triangle ABC est rectangle en A.
De plus, on a AB=AC, car AB^{2}=AC^{2}.
Le triangle ABC est donc rectangle isocèle en A.
Quelle est la mesure de l'angle \widehat{ABC} ?
ABC étant rectangle isocèle en A et sachant que la somme des angles d'un triangle vaut 180^{°}, on a :
\widehat{ABC}=\dfrac{180^{°}-90^{°}}{2}=45^{°}
Donc \widehat{ABC}=45^{°}.