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Géométrie analytique

I

Le repérage dans le plan

A

Le repère orthonormal

Repère orthonormal

On définit un repère du plan, d'origine O, par trois points O, I et J non alignés.
Si le triangle OIJ est rectangle isocèle en O, on dit que le repère est orthonormal (ou orthonormé).

-

Si le triangle OIJ est rectangle non isocèle, on parle de repère orthogonal. Si le triangle OIJ n'est pas rectangle, on parle de repère quelconque.

Le repère suivant est un repère orthogonal.

-
B

Les coordonnées d'un point

Axes

Soit \(\displaystyle{\left( O;I,J \right)}\) un repère d'origine O :

  • La droite \(\displaystyle{\left( OI\right)}\) est appelée axe des abscisses.
  • La droite \(\displaystyle{\left( OJ\right)}\) est appelée axe des ordonnées.

Coordonnées

Soit M un point du plan muni d'un repère \(\displaystyle{\left( O;I,J \right)}\). La droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par M coupe \(\displaystyle{\left( OI \right)}\) en N. La droite parallèle à l'axe des abscisses passant par M coupe \(\displaystyle{\left( OJ \right)}\) en K. On note :

  • x l'abscisse du point N sur la droite \(\displaystyle{\left( OI \right)}\) munie du repère \(\displaystyle{\left( O;I \right)}\)
  • y l'abscisse du point K sur la droite \(\displaystyle{\left( OJ \right)}\) munie du repère \(\displaystyle{\left( O;J\right)}\) (la position d'un point sur un seul axe gradué s'appelle bien l'abscisse)

Le couple \(\displaystyle{\left( x;y \right)}\) est unique et est appelé coordonnées du point M dans le repère \(\displaystyle{\left( O;I,J \right)}\).

-

Abscisse et ordonnée

Le réel \(\displaystyle{x}\) est l'abscisse de M, le réel \(\displaystyle{y}\) est l'ordonnée de M.

-

Les coordonnées de I sont (1 ; 0) et de J sont (0 ; 1). Dans l'exemple ci-dessus, les coordonnés de M sont (2 ; 2).

C

La distance

Distance

Dans un repère orthonormal, la distance entre les points \(\displaystyle{A\left(x_a ; y_a\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(x_b ; y_b\right)}\), notée AB, est égale à :

\(\displaystyle{ AB =\sqrt{\left(x_{B} - x_{A}\right)^{2} + \left(y_{B} - y_{A}\right)^{2}}}\)

Si on considère les points A(3 ; 5) et B(−2 ; 7), alors la distance AB est égale à :

\(\displaystyle{AB=\sqrt{\left( x_B-x_A \right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{\left(-2-3\right)^2+\left(7-5\right)^2}=\sqrt{\left(-5\right)^2+2^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}}\)

D

Les coordonnées du milieu d'un segment

Milieu

Soient A et B deux points de coordonnées respectives \(\displaystyle{\left( x_A;y_A \right)}\) et \(\displaystyle{\left( x_B;y_B \right)}\) dans un repère du plan. Le milieu I de [AB] a pour coordonnées :

\(\displaystyle{I \text{ } \left(\dfrac{x_A + x_B}{2};\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)}\)

Si on considère les points A(3 ; 5) et B(−2 ; 7), alors le milieu I de [AB] a pour coordonnées :

\(\displaystyle{I \text{ } \left(\dfrac{x_A + x_B}{2};\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)}\)

\(\displaystyle{I \text{ } \left(\dfrac{3 + \left(-2\right)}{2};\dfrac{5 + 7}{2}\right)}\)

\(\displaystyle{I \text{ } \left(\dfrac{1}{2};\dfrac{12}{2}\right)}\)

\(\displaystyle{I \text{ } \left(\dfrac{1}{2};6\right)}\)

II

Les droites dans le repère

A

Les équations de droites

Equation d'une droite

On appelle équation d'une droite dans un repère une égalité vérifiée (uniquement) par les coordonnées \(\displaystyle{\left(x ; y\right)}\) de tous les points de cette droite.

Dans un repère, toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme : \(\displaystyle{y=mx+p}\)m et p sont deux nombres réels. Cette équation est appelée "équation réduite de la droite".

-

Si la droite est parallèle à l'axe des abscisses, c'est-à-dire "horizontale", alors une équation de la droite est du type \(\displaystyle{y=p}\).

C'est le cas particulier où \(\displaystyle{m=0}\).

-

Une droite parallèle à l'axe des ordonnées, c'est-à-dire "verticale", admet une équation de la forme \(\displaystyle{x=k}\), avec k réel.

-
B

Le coefficient directeur

Coefficient directeur

Soit D une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, d'équation \(\displaystyle{y = mx + p}\).
Le réel m est appelé coefficient directeur (ou pente) de la droite D.

La droite d'équation \(\displaystyle{y=\dfrac12x+6}\) a pour coefficient directeur \(\displaystyle{\dfrac12}\).

Ordonnée à l'origine

Avec les notations précédentes, le réel p de l'équation \(\displaystyle{y=mx+p}\) est appelé ordonnée à l'origine de la droite D.

La droite d'équation \(\displaystyle{y=\dfrac12x+6}\) a pour ordonnée à l'origine 6.

-

Une droite parallèle à l'axe des abscisses est une droite de pente nulle.

La droite d'équation \(\displaystyle{y=12}\) est parallèle à l'axe des abscisses et son coefficient directeur est égal à 0.

Coefficient directeur

Soient A et B deux points distincts d'une droite D non parallèle à l'axe des ordonnées. Le coefficient directeur m de la droite D est égal à :

\(\displaystyle{m =\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\)

-

La droite (d) ci-dessus passe par les points \(\displaystyle{A \left(3 ; 5\right)}\) et \(\displaystyle{B \left(−1 ; −4\right)}\). Son coefficient directeur est égal à :

\(\displaystyle{m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-4-5}{-1-3}=\dfrac94}\).

Trois points du plan A, B et C sont alignés si et seulement si les droites \(\displaystyle{\left( AB \right)}\) et \(\displaystyle{\left( AC \right)}\) ont même coefficient directeur.

Soient A,B et C les points de coordonnés respectives \(\displaystyle{A\left( 1;3 \right)}\), \(\displaystyle{B\left( 2;5 \right)}\) et \(\displaystyle{C\left( 3;7 \right)}\).

Le coefficient directeur de la droite \(\displaystyle{\left( AB \right)}\) est : \(\displaystyle{m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{5-3}{2-1}=2}\)

Le coefficient directeur de la droite \(\displaystyle{\left( AC \right)}\) est : \(\displaystyle{n=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{7-3}{3-1}=\dfrac{4}{2}=2}\)

Les points A, B et C sont alignés car \(\displaystyle{m=n}\).

C

Les droites parallèles

Droites parallèles

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux.

Les droites (d) et (d') ci-dessous ont le même coefficient directeur, \(\displaystyle{-\dfrac13}\). Elles sont parallèles.

-

Deux droites parallèles sont confondues ou strictement parallèles.

Deux droites parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles entre elles.

Les droites d'équation \(\displaystyle{x=-3}\) et \(\displaystyle{x=5}\) sont parallèles, car elles sont toutes les deux parallèles à l'axe des ordonnées.

D

Systèmes et intersection de deux droites

Système et point d'intersection

Soient deux droites \(\displaystyle{D}\) et \(\displaystyle{D'}\), d'équations respectives \(\displaystyle{y = mx + p}\) et \(\displaystyle{y = m'x + p'}\).
Ces deux droites sont sécantes en un point si et seulement si le système suivant admet un unique couple solution \(\displaystyle{\left(x ; y\right)}\), qui correspond aux coordonnées du point d'intersection de \(\displaystyle{D}\) et \(\displaystyle{D'}\) :

\(\displaystyle{\begin{cases}y = mx + p \cr \cr y = m'x + p'\end{cases}}\)

Recherchons les coordonnées \(\displaystyle{\left( x;y \right)}\) du point d'intersection I des droites d'équation \(\displaystyle{y=\dfrac23x+2}\) et \(\displaystyle{y=-\dfrac13x+5}\).

Pour cela on résout le système formé par ces deux équations :

\(\displaystyle{\left(S\right):\begin{cases} y=\dfrac23x+2 \cr \cr y=-\dfrac13x+5 \end{cases}}\)

Les deux droites ont pour coefficients directeurs respectifs \(\displaystyle{\dfrac{2}{3}}\) et \(\displaystyle{-\dfrac{1}{3}}\). Or, \(\displaystyle{\dfrac{2}{3}\neq -\dfrac{1}{3}}\). Les droites sont donc bien sécantes.

Résolvons le système :

\(\displaystyle{\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac23x+2 \cr \cr \dfrac23x+2 =-\dfrac13x+5 \end{cases}}\)

On résout la deuxième équation :

\(\displaystyle{\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac23x+2 \cr \cr \dfrac23x+\dfrac13x =5-2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac23x+2 \cr \cr x=3 \end{cases}}\)

On remplace la valeur obtenue pour x dans la première équation :

\(\displaystyle{\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac{2}{3}\times3+2 \cr \cr x=3 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\left(S\right)\Leftrightarrow\begin{cases} y=4\cr \cr x=3 \end{cases}}\)

Par conséquent, le point I a pour coordonnées \(\displaystyle{\left(3 ; 4\right)}\).

-
  • Si les droites sont sécantes, le système admet un unique couple solution.
  • Si les droites sont strictement parallèles, le système n'admet pas de solution.
  • Si les droites sont confondues, le système admet une infinité de solutions.

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