Seconde 2015-2016
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Seconde 2015-2016

Géométrie analytique

I

Le repérage dans le plan

A

Le repère orthonormal

Repère orthonormal

On définit un repère du plan, d'origine O, par trois points O, I et J non alignés.
Si le triangle OIJ est rectangle isocèle en O, on dit que le repère est orthonormal (ou orthonormé).

-

Si le triangle OIJ est rectangle non isocèle, on parle de repère orthogonal. Si le triangle OIJ n'est pas rectangle, on parle de repère quelconque.

Le repère suivant est un repère orthogonal.

-
B

Les coordonnées d'un point

Axes

Soit (O;I,J) un repère d'origine O :

  • La droite (OI) est appelée axe des abscisses.
  • La droite (OJ) est appelée axe des ordonnées.

Coordonnées

Soit M un point du plan muni d'un repère (O;I,J). La droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par M coupe (OI) en N. La droite parallèle à l'axe des abscisses passant par M coupe (OJ) en K. On note :

  • x l'abscisse du point N sur la droite (OI) munie du repère (O;I)
  • y l'abscisse du point K sur la droite (OJ) munie du repère (O;J) (la position d'un point sur un seul axe gradué s'appelle bien l'abscisse)

Le couple (x;y) est unique et est appelé coordonnées du point M dans le repère (O;I,J).

-

Abscisse et ordonnée

Le réel x est l'abscisse de M, le réel y est l'ordonnée de M.

-

Les coordonnées de I sont (1 ; 0) et de J sont (0 ; 1). Dans l'exemple ci-dessus, les coordonnés de M sont (2 ; 2).

C

La distance

Distance

Dans un repère orthonormal, la distance entre les points A(xa;ya) et B(xb;yb), notée AB, est égale à :

AB=(xBxA)2+(yByA)2

Si on considère les points A(3 ; 5) et B(−2 ; 7), alors la distance AB est égale à :

AB=(xBxA)2+(yByA)2=(23)2+(75)2=(5)2+22=25+4=29

D

Les coordonnées du milieu d'un segment

Milieu

Soient A et B deux points de coordonnées respectives (xA;yA) et (xB;yB) dans un repère du plan. Le milieu I de [AB] a pour coordonnées :

I (xA+xB2;yA+yB2)

Si on considère les points A(3 ; 5) et B(−2 ; 7), alors le milieu I de [AB] a pour coordonnées :

I (xA+xB2;yA+yB2)

I (3+(2)2;5+72)

I (12;122)

I (12;6)

II

Les droites dans le repère

A

Les équations de droites

Equation d'une droite

On appelle équation d'une droite dans un repère une égalité vérifiée (uniquement) par les coordonnées (x;y) de tous les points de cette droite.

Dans un repère, toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme : y=mx+pm et p sont deux nombres réels. Cette équation est appelée "équation réduite de la droite".

-

Si la droite est parallèle à l'axe des abscisses, c'est-à-dire "horizontale", alors une équation de la droite est du type y=p.

C'est le cas particulier où m=0.

-

Une droite parallèle à l'axe des ordonnées, c'est-à-dire "verticale", admet une équation de la forme x=k, avec k réel.

-
B

Le coefficient directeur

Coefficient directeur

Soit D une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, d'équation y=mx+p.
Le réel m est appelé coefficient directeur (ou pente) de la droite D.

La droite d'équation y=12x+6 a pour coefficient directeur 12.

Ordonnée à l'origine

Avec les notations précédentes, le réel p de l'équation y=mx+p est appelé ordonnée à l'origine de la droite D.

La droite d'équation y=12x+6 a pour ordonnée à l'origine 6.

-

Une droite parallèle à l'axe des abscisses est une droite de pente nulle.

La droite d'équation y=12 est parallèle à l'axe des abscisses et son coefficient directeur est égal à 0.

Coefficient directeur

Soient A et B deux points distincts d'une droite D non parallèle à l'axe des ordonnées. Le coefficient directeur m de la droite D est égal à :

m=yByAxBxA

-

La droite (d) ci-dessus passe par les points A(3;5) et B(1;4). Son coefficient directeur est égal à :

m=yByAxBxA=4513=94.

Trois points du plan A, B et C sont alignés si et seulement si les droites (AB) et (AC) ont même coefficient directeur.

Soient A,B et C les points de coordonnés respectives A(1;3), B(2;5) et C(3;7).

Le coefficient directeur de la droite (AB) est : m=yByAxBxA=5321=2

Le coefficient directeur de la droite (AC) est : n=yCyAxCxA=7331=42=2

Les points A, B et C sont alignés car m=n.

C

Les droites parallèles

Droites parallèles

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux.

Les droites (d) et (d') ci-dessous ont le même coefficient directeur, 13. Elles sont parallèles.

-

Deux droites parallèles sont confondues ou strictement parallèles.

Deux droites parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles entre elles.

Les droites d'équation x=3 et x=5 sont parallèles, car elles sont toutes les deux parallèles à l'axe des ordonnées.

D

Systèmes et intersection de deux droites

Système et point d'intersection

Soient deux droites D et D, d'équations respectives y=mx+p et y=mx+p.
Ces deux droites sont sécantes en un point si et seulement si le système suivant admet un unique couple solution (x;y), qui correspond aux coordonnées du point d'intersection de D et D :

y=mx+py=mx+p

Recherchons les coordonnées (x;y) du point d'intersection I des droites d'équation y=23x+2 et y=13x+5.

Pour cela on résout le système formé par ces deux équations :

(S):y=23x+2y=13x+5

Les deux droites ont pour coefficients directeurs respectifs 23 et 13. Or, 2313. Les droites sont donc bien sécantes.

Résolvons le système :

(S)y=23x+223x+2=13x+5

On résout la deuxième équation :

(S)y=23x+223x+13x=52

y=23x+2x=3

On remplace la valeur obtenue pour x dans la première équation :

(S)y=23×3+2x=3

(S)y=4x=3

Par conséquent, le point I a pour coordonnées (3;4).

-
  • Si les droites sont sécantes, le système admet un unique couple solution.
  • Si les droites sont strictement parallèles, le système n'admet pas de solution.
  • Si les droites sont confondues, le système admet une infinité de solutions.
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