Première L 2016-2017
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Première L 2016-2017

Les trinômes du second degré

I

Les trinômes du second degré : caractérisation

Trinôme du second degré

On appelle fonction trinôme du second degré (ou fonction polynôme du second degré, ou plus simplement trinôme) toute fonction T définie sur et admettant une expression du type :

T(x)=ax2+bx+c

a, b et c sont des réels quelconques avec a0

La fonction définie pour tout réel x par P(x)=2x2+x3 est un trinôme du second degré.

Discriminant

Avec les notations précédentes, on appelle discriminant du trinôme T le réel :

Δ=b24ac

On calcule le discriminant du trinôme défini pour tout réel x par P(x)=2x2+1x3 :

Δ=124×2×(3)

Δ=1(24)=1+24=25

Forme canonique d'un trinôme

Soit T une fonction trinôme du second degré. On appelle forme canonique de T(x) toute forme du type :

T(x)=a[(xα)2]+β

a, α et β sont des réels quelconques avec a0

Forme canonique

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur par T(x)=ax2+bx+c, avec a0. Alors la forme canonique de T(x) est unique et donnée par :

T(x)=a[(xα)2]+β avec α=b2a et β=Δ4a

La forme canonique du trinôme P défini sur par P(x)=3x25x+1 se détermine en calculant α et β.

α=(5)2×3=56 et β=((5)24×3×1)4×3=1312

Ainsi, la forme canonique est :

P(x)=3(x56)21312

II

Variations

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur par T(x)=ax2+bx+c, où a, b et c sont des réels quelconques avec a0. Notons T(x)=a[(xα)2]+β sa forme canonique.

Cas 1

Si a>0

Le trinôme est décroissant sur ];α] et croissant sur [α;+[.

-
Cas 2

Si a<0

Le trinôme est croissant sur ];α] et décroissant sur [α;+[.

-
III

Représentation graphique

Parabole

On appelle parabole toute représentation graphique d'une fonction trinôme dans un repère du plan.

Sommet

On appelle sommet de la parabole le point correspondant à l'extremum de la fonction trinôme.

Parabole

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur par T(x)=ax2+bx+c, avec a0. La courbe représentative du trinôme T est une parabole, de sommet S :

S (b2a;Δ4a)

Soit f la fonction définie pour tout réel x par : f(x)=5x22x+1

On a ici : a=5, b=2, c=1.

Donc :

  • b2a=210=15
  • Δ4a=(2)24×5×14×5=1620=45

La courbe représentative de la fonction f(x)=5x22x+1 est donc une parabole de sommet S de coordonnées : (15;45).

L'allure de la parabole représentative du trinôme T dépend du signe de a :

  • Si a>0, alors la parabole décroît puis croît et le trinôme admet donc un minimum (égal à l'ordonnée du sommet de la parabole).
  • Si a<0, alors la parabole croît puis décroît et le trinôme admet donc un maximum (égal à l'ordonnée du sommet de la parabole).

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur par T(x)=ax2+bx+c, avec a0. On note Δ son discriminant.

Cas 1

Allure de la parabole si a>0 et Δ<0

-

La courbe représentative de la fonction f(x)=5x22x+1 avec a=5 et Δ=16 a une allure similaire à celle ci-dessus.

On remarque que la courbe ne coupe jamais l'axe des abscisses.

Cas 2

Allure de la parabole si a>0 et Δ=0

-

La courbe représentative de la fonction f(x)=3x230x+75 avec a=3 et Δ=0 a une allure similaire à celle ci-dessus.

On remarque que la courbe et l'axe des abscisses ont un point en commun.

Cas 3

Allure de la parabole si a>0 et Δ>0

-

La courbe représentative de la fonction f(x)=2x2+8x24 avec a=2 et Δ=256 a une allure similaire à celle ci-dessus.

On remarque que la courbe coupe deux fois l'axe des abscisses.

Cas 4

Allure de la parabole si a<0 et Δ<0

-

La courbe représentative de la fonction f(x)=3x2+4x13 avec a=3 et Δ=140 a une allure similaire à celle ci-dessus.

On remarque que la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses.

Cas 5

Allure de la parabole si a<0 et Δ=0

-

La courbe représentative de la fonction f(x)=5x270x245 avec a=5 et Δ=0 a une allure similaire à celle ci-dessus.

On remarque que la courbe et l'axe des abscisses ont un point en commun.

Cas 6

Allure de la parabole si a<0 et Δ>0

-

La courbe représentative de la fonction f(x)=7x2+21x14 avec a=7 et Δ=49 a une allure similaire à celle ci-dessus.

On remarque que la courbe coupe deux fois l'axe des abscisses.

IV

Racines du trinôme

Racines

Soit T une fonction trinôme définie sur par T(x)=ax2+bx+c, avec a0. Les racines du trinôme T(x) sont les valeurs de x pour lesquelles il s'annule. Ce sont les solutions de l'équation T(x)=0 c'est-à-dire ax2+bx+c=0 .

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur par T(x)=ax2+bx+c, avec a0. Notons Δ son discriminant.

Cas 1

Si Δ<0

Le trinôme n'a pas de racine réelle.

Considérons le polynôme P(x)=5x22x+1.

Δ=(2)24×5×1=16

Le polynôme ne possède pas de racine car Δ<0.

-
Cas 2

Si Δ=0

Le trinôme a une unique racine qu'on appelle racine double :

x0=b2a

Considérons le polynôme P(x)=5x270x245.

Δ=(70)24×(5)×(245)=0

Le polynôme possède une racine double car Δ=0.

x0=(70)2×(5)=7

-
Cas 3

Si Δ>0

Le trinôme a deux racines réelles distinctes :

x1=bΔ2a

x2=b+Δ2a

Considérons le polynôme P(x)=3x22x1.

Δ=(2)24×3×(1)=16

On a donc Δ>0. Le trinôme possède deux racines :

x1=(2)162×3=13 et x2=(2)+162×3=1

-
V

Factorisation du trinôme

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur par T(x)=ax2+bx+c, avec a0. Notons Δ son discriminant.

Cas 1

Si Δ<0

Le trinôme n'est pas factorisable.

Considérons le polynôme P(x)=5x22x+1.

Δ=(2)24×5×1=16

Le polynôme ne possède pas de racine car Δ<0.

On ne peut pas factoriser le trinôme.

Cas 2

Si Δ=0

Le trinôme peut se factoriser sous la forme :

T(x)=a(xx0)2

Considérons le polynôme P(x)=5x270x245.

Δ=(70)24×(5)×(245)=0

Le polynôme possède une racine double car Δ=0.

x0=(70)2×(5)=7

Il peut s'écrire sous la forme : P(x)=5(x(7))2=5(x+7)2.

Cas 3

Si Δ>0

Le trinôme peut se factoriser sous la forme :

T(x)=a(xx1)(xx2)

Considérons le polynôme P(x)=3x22x1.

Δ=(2)24×3×(1)=16

On a donc Δ>0. Le trinôme possède deux racines :

x1=(2)162×3=13 ou x2=(2)+162×3=1

Il peut s'écrire sous forme factorisée :

P(x)=3(x(13))(x1)=3(x+13)(x1).

VI

Signe du trinôme

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur par T(x)=ax2+bx+c, avec a0. Notons Δ son discriminant.

Cas 1

Si Δ<0

-

Considérons le polynôme P(x)=5x22x+1.

Δ=16

Donc le polynôme ne possède pas de racine car Δ<0.

Quelle que soit la valeur de x, le polynôme a le signe de a=5. Donc P(x)>0, pour tout réel x.

La parabole représentant le polynôme est toujours située strictement au-dessus de l'axe des abscisses.

-
Cas 2

Si Δ=0

-

Considérons le polynôme P(x)=5x270x245.

Le polynôme possède une racine double, car Δ=0, qui est x0=7.

Quelle que soit la valeur de x, le polynôme a le signe de a=5. Donc P(x)0, pour tout réel x.

La parabole représentant le polynôme est toujours située au-dessous de l'axe des abscisses.

-
Cas 3

Si Δ>0

-

Considérons le polynôme P(x)=3x22x1.

Δ=16

On a donc Δ>0. Le trinôme possède deux racines : x1=13 et x2=1.

Le polynôme a le signe de a=3 "à l'extérieur des racines" et le signe contraire "entre les racines".

Pour tout réel x];13][1;+[, on a P(x)0 et la parabole est située au-dessus de l'axe des abscisses.

Pour tout réel x[13;1], on a P(x)0 et la parabole est située au-dessous de l'axe des abscisses.

-
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