Déterminer la forme canonique d'un trinôme Exercice

Il n'y a pas de factorisation nécessaire puisque a = 1.

On cherche à faire apparaître le début d'une identité remarquable à partir des termes en x^{2} et en x.

Ici x^{2}+6x est le début de la forme développée d'une identité remarquable du type \left(x+y\right)^{2}.

• La valeur de y est égale au coefficient du terme en x divisé par 2 : y=\dfrac{6}{2}=3.
• On retire la constante y^{2}= 3^{2}=9 qui a été ajoutée par l'introduction de cette identité remarquable.

D'où :

P\left(x\right)=\left(x+3\right)^{2}-9+5

P\left(x\right)=\left(x+3\right)^{2}-4

On factorise P par a = -4 :

P\left(x\right)=-4\left[x^{2}-8x-2\right]

On cherche à faire apparaître le début d'une identité remarquable à partir des termes en x^{2} et en x.

Ici x^{2}-8x est le début de la forme développée d'une identité remarquable du type \left(x-y\right)^{2}.

• La valeur de y est égale au coefficient du terme en x divisé par 2 : y=\dfrac{8}{2}=4.
• On retire la constante y^{2}= 4^{2}=16 qui a été ajoutée par l'introduction de cette identité remarquable.

D'où :

P\left(x\right)=-4\left[\left(x-4\right)^{2}-16-2\right]

P\left(x\right)=-4\left[\left(x-4\right)^{2}-18\right]

P\left(x\right)=-4\left(x-4\right)^2+72

On factorise P par a = -2 :

P\left(x\right)=-2\left[x^{2}-3x+\dfrac{5}{2}\right]

On cherche à faire apparaître le début d'une identité remarquable à partir des termes en x^{2} et en x.

Ici x^{2}-3x est le début de la forme développée d'une identité remarquable du type \left(x-y\right)^{2}.

• La valeur de y est égale au coefficient du terme en x divisé par 2 : y=\dfrac{3}{2}.
• On retire la constante y^{2}= \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4} qui a été ajoutée par l'introduction de cette identité remarquable.

D'où :

P\left(x\right)=-2\left[\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{9}{4}+\dfrac{5}{2}\right]

P\left(x\right)=-2\left[\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\dfrac{1}{4}\right]

P\left(x\right)=-2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{2}

On factorise P par a = -3 :

P\left(x\right)=-3\left[x^{2}-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}\right]

On cherche à faire apparaître le début d'une identité remarquable à partir des termes en x^{2} et en x.

Ici x^{2}-\dfrac{2}{3}x est le début de la forme développée d'une identité remarquable du type \left(x-y\right)^{2}.

• La valeur de y est égale au coefficient du terme en x divisé par 2 : y=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{2}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}.
• On retire la constante y^{2}= \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{1}{9} qui a été ajoutée par l'introduction de cette identité remarquable.

D'où :

P\left(x\right)=-3\left[\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^{2}-\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{3}\right]

P\left(x\right)=-3\left[\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^{2}-\dfrac{4}{9}\right]

P\left(x\right)=-3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^{2}+\dfrac{4}{3}

On factorise P par a = 5 :

P\left(x\right)=5\left[x^{2}-4x+2\right]

On cherche à faire apparaître le début d'une identité remarquable à partir des termes en x^{2} et en x.

Ici x^{2}-4x est le début de la forme développée d'une identité remarquable du type \left(x-y\right)^{2}.

• La valeur de y est égale au coefficient du terme en x divisé par 2 : y=\dfrac{4}{2}=2.
• On retire la constante y^{2}= 2^{2}=4 qui a été ajoutée par l'introduction de cette identité remarquable.

D'où :

P\left(x\right)=5\left[\left(x-2\right)^{2}-4+2\right]

P\left(x\right)=5\left[\left(x-2\right)^{2}-2\right]

P\left(x\right)=5\left(x-2\right)^2-10

On factorise P par a = 2 :

P\left(x\right) = 2 \left( x^{2} -\dfrac{3}{2}x +4\right)

On cherche à faire apparaître le début d'une identité remarquable à partir des termes en x^{2} et en x.

Ici x^{2}-\dfrac{3}{2}x est le début de la forme développée d'une identité remarquable du type \left(x-y\right)^{2}.

• La valeur de y est égale au coefficient du terme en x divisé par 2 : y=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{2}=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}.
• On retire la constante y^{2}= \left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16} qui a été ajoutée par l'introduction de cette identité remarquable.

D'où :

P\left(x\right)=2\left[\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^{2}-\dfrac{9}{16}+4\right]

P\left(x\right)=2\left[\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^{2}-\dfrac{9}{16}+\dfrac{64}{16}\right]

P\left(x\right)=2\left[\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^{2}+\dfrac{55}{16}\right]

P\left(x\right)=2\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{55}{8}