Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
(E) : -2x^4+3x^2-7=0
En posant X=x^2, on peut se ramener à une équation du second degré :
(E') : -2X^2+3X-7=0
(E') étant une équation du second degré, on peut déterminer ses solutions par recherche des racines du trinôme.
\Delta=b^2-4ac=3^2-4\times\left(-2\right)\times\left(-7\right)=9-56=-47
\Delta\lt0 donc (E') n'admet pas de solution.
L'équation (E) n'admet pas de solution sur \mathbb{R}.
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
(E) : x^4-5x^2+6=0
En posant X=x^2, on peut se ramener à une équation du second degré :
(E') : X^2-5X+6=0
(E') étant une équation du second degré, on peut déterminer ses solutions par recherche des racines du trinôme.
Résolution de (E')
\Delta=b^2-4ac=\left(-5\right)^2-4\times1\times6=25-24=1
\Delta\gt0 donc (E') admet deux solutions réelles :
- X_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{1}}{2}=\dfrac{5-1}{2}=\dfrac{4}{2}=2
- X_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{1}}{2}=\dfrac{5+1}{2}=\dfrac{6}{2}=3
L'équation (E') admet donc deux solutions réelles 2 et 3.
Déduction des solutions de (E)
Comme X=x^2, pour déterminer les solutions de (E), on résout les équations suivantes :
- x^2=2\Leftrightarrow x=\sqrt{2} \text{ ou }x=-\sqrt{2}
- x^2=3\Leftrightarrow x=\sqrt{3} \text{ ou }x=-\sqrt{3}
L'ensemble des solutions réelles de l'équation (E) est :
S=\left\{ -\sqrt{3};-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{3} \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
(E) : -2x^4+5x^2+4=0
En posant X=x^2, on peut se ramener à une équation du second degré :
(E') : -2X^2+5X+4=0
(E') étant une équation du second degré, on peut déterminer ses solutions par recherche des racines du trinôme.
Résolution de (E')
\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times\left(-2\right)\times4=25+32=57
\Delta\gt0 donc (E') admet deux solutions réelles :
- X_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-\sqrt{57}}{2\times\left(-2\right)}=\dfrac{-5-\sqrt{57}}{-4}=\dfrac{5+\sqrt{57}}{4}
- X_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+\sqrt{57}}{2\times\left(-2\right)}=\dfrac{-5+\sqrt{57}}{-4}=\dfrac{5-\sqrt{57}}{4}
L'équation (E') admet donc deux solutions réelles \dfrac{5+\sqrt{57}}{4} et \dfrac{5-\sqrt{57}}{4}.
Déduction des solutions de (E)
Comme X=x^2, pour déterminer les solutions de (E), on résout les équations suivantes :
- x^2=\dfrac{5-\sqrt{57}}{4} qui n'a pas de solution car un carré est toujours positif et \dfrac{5-\sqrt{57}}{4}\lt0
- x^2=\dfrac{5+\sqrt{57}}{4}\Leftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{57}}{4}} \text{ ou } x=-\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{57}}{4}}
L'ensemble des solutions réelles de l'équation (E) est :
S=\left\{ -\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{57}}{4}};\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{57}}{4}} \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
(E) : x^4+7x^2-8=0
En posant X=x^2, on peut se ramener à une équation du second degré :
(E') : X^2+7X-8=0
(E') étant une équation du second degré, on peut déterminer ses solutions par recherche des racines du trinôme.
Résolution de (E')
\Delta=b^2-4ac=7^2-4\times1\times\left(-8\right)=49+32=81
\Delta\gt0 donc (E') admet deux solutions réelles :
- X_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7-\sqrt{81}}{2}=\dfrac{-7-9}{2}=\dfrac{-16}{2}=-8
- X_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7+\sqrt{81}}{2}=\dfrac{-7+9}{2}=\dfrac{2}{2}=1
L'équation (E') admet donc deux solutions réelles -8 et 1.
Déduction des solutions de (E)
Comme X=x^2, pour déterminer les solutions de (E), on résout les équations suivantes :
- L'équation x^2=-8 n'a pas de solution réelle
- x^2=1\Leftrightarrow x=\sqrt{1}=1 \text{ ou } x=-\sqrt{1}=-1
L'ensemble des solutions réelles de l'équation (E) est :
S=\left\{ -1;1 \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
(E) : x^6-63x^3-64=0
En posant X=x^3, on peut se ramener à une équation du second degré :
(E') : X^2-63X-64=0
(E') étant une équation du second degré, on peut déterminer ses solutions par recherche des racines du trinôme.
Résolution de (E')
\Delta=b^2-4ac=\left(-63\right)^2-4\times1\times\left(-64\right)=3\ 969+256=4\ 225
\Delta\gt0 donc (E') admet deux solutions réelles :
- X_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{63-\sqrt{4\ 225}}{2}=\dfrac{63-65}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1
- X_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{63+\sqrt{4\ 225}}{2}=\dfrac{63+65}{2}=\dfrac{128}{2}=64
L'équation (E') admet donc deux solutions réelles -1 et 64.
Déduction des solutions de (E)
Comme X=x^3, pour déterminer les solutions de (E), on résout les équations suivantes :
- x^3=-1\Leftrightarrow x=-1
- x^3=64\Leftrightarrow x=4
L'ensemble des solutions réelles de l'équation (E) est :
S=\left\{ -1;4 \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
(E) : x^4-x^2-2=0
En posant X=x^2, on peut se ramener à une équation du second degré :
(E') : X^2-X-2=0
(E') étant une équation du second degré, on peut déterminer ses solutions par recherche des racines du trinôme.
Résolution de (E')
\Delta=b^2-4ac=\left(-1\right)^2-4\times1\times\left(-2\right)=1+8=9
\Delta\gt0 donc (E') admet deux solutions réelles :
- X_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1-\sqrt{9}}{2}=\dfrac{1-3}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1
- X_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1+\sqrt{9}}{2}=\dfrac{1+3}{2}=\dfrac{4}{2}=2
L'équation (E') admet donc deux solutions réelles -1 et 2.
Déduction des solutions de (E)
Comme X=x^2, pour déterminer les solutions de (E), on résout les équations suivantes :
- x^2=-1 qui n'a pas de solution car un carré est toujours positif
- x^2=2\Leftrightarrow x=\sqrt{2} \text{ ou } x=-\sqrt{2}
L'ensemble des solutions réelles de l'équation (E) est :
S=\left\{ \sqrt{2};-\sqrt{2} \right\}