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  4. Méthode : Déterminer la forme canonique d'un trinôme

Déterminer la forme canonique d'un trinôme Méthode

Sommaire

Méthode 1En utilisant la formule 1Calculer \alpha 2Calculer \beta 3ConclureMéthode 2En la retrouvant par le calcul 1Factoriser par a 2Faire apparaître une identité remarquable 3Conclure
Méthode 1

En utilisant la formule

Soient a, b et c trois réels avec a non nul. La forme canonique du trinôme f\left(x\right)=ax^2+bx+c est f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta, avec :

  • \alpha=\dfrac{-b}{2a}
  • \beta=f\left(\alpha\right)=-\dfrac{\Delta}{4a}

S'il n'est pas demandé de détailler la mise sous forme canonique, on peut utiliser ces formules pour déterminer la forme canonique d'un trinôme du second degré.

On considère la fonction trinôme du second degré définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right)=2x^2-4x+1

Donner, en utilisant les formules du cours, la forme canonique de f.

Etape 1

Calculer \alpha

Si le trinôme, est de la forme f\left(x\right)=ax^2+bx+c, on identifie les coefficients a et b.

On a \alpha=-\dfrac{b}{2a}.

Ici, on a \forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right)=2x^2-4x+1. Ainsi :

  • a=2
  • b=-4

On calcule :

\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\times2}=\dfrac{4}{4}=1

Etape 2

Calculer \beta

On a :

\beta=f\left(\alpha\right)=-\dfrac{\Delta}{4a}

On calcule donc \beta en utilisant la valeur du discriminant \Delta (notamment s'il a déjà été calculé avant) ou en calculant f\left(\alpha\right).

On ne connaît pas déjà la valeur de \Delta, on calcule donc :

\beta=f\left(\alpha\right)=f\left(1\right)=2\times1^2-4\times1+1=-1

Etape 3

Conclure

Le trinôme a pour forme canonique f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta. On remplace les valeurs de \alpha et \beta obtenues dans la formule.

Or, on sait que le trinôme a pour forme canonique f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta.

On obtient ainsi :

\forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right)=2\left(x-1\right)^2-1

Méthode 2

En la retrouvant par le calcul

A l'aide d'une technique de calcul précise, on sait déterminer la forme canonique d'un trinôme du second degré.

On considère la fonction trinôme du second degré définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right)=3x^2-12x+18

Donner, en la retrouvant par le calcul, la forme canonique de f.

Etape 1

Factoriser par a

Le trinôme a pour expression f\left(x\right)=ax^2+bx+c

On factorise d'abord l'expression par a :

f\left(x\right) =a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)

On factorise l'expression par a=3 :

f\left(x\right) =3\left(x^2-4x+6\right)

Etape 2

Faire apparaître une identité remarquable

On remarque que :

x^2+\dfrac{b}{a}x= x^2 +2 \times \dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2} = \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2}

On remplace dans l'expression de f et on obtient :

f\left(x\right) =a\left[ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]

On sort les deux termes constants et on les met sur le même dénominateur.

On obtient finalement :

f\left(x\right) =a \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}

On remarque que :

x^2-4x= x^2 -2 \times2 \times x +4-4 = \left(x-2\right)^2 - 4

On remplace dans l'expression de f et on obtient :

f\left(x\right) =3\left[ \left(x-2\right)^2-4+6\right]

Soit f\left(x\right) =3\left[ \left(x-2\right)^2+2\right]

On sort le terme constant de la parenthèse, on obtient finalement :

f\left(x\right) =3 \left(x-2\right)^2+6

Etape 3

Conclure

Le trinôme a pour forme canonique, \forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2-4ac}{4a}.

On obtient donc :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) =3 \left(x-2\right)^2+6

Voir aussi
  • Cours : Équations, fonctions polynômes du second degré
  • Quiz : Équations, fonctions polynômes du second degré
  • Exercice : Déterminer si un réel est racine d'un trinôme
  • Exercice : Trouver une racine évidente pour un polynôme du second degré
  • Exercice : Donner les racines réelles d'un polynôme du second degré donné sous forme factorisée
  • Exercice : Connaître les caractéristiques du discriminant d'un polynôme du second degré
  • Exercice : Calculer le discriminant d'un polynôme du second degré donné sous forme développée
  • Exercice : Donner les racines d'un trinôme du second degré
  • Exercice : Connaître la relation entre les coefficients d'un polynôme du second degré sous forme développée et ses racines réelles
  • Exercice : Trouver les racines réelles d'un polynôme du second degré à l'aide de leur somme et de leur produit
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré sous forme développée
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré sous forme factorisée
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré sous forme canonique
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré
  • Exercice : Déterminer la forme d'un polynôme du second degré
  • Exercice : Donner la forme factorisée d'un polynôme du second degré à l'aide de ses racines réelles
  • Exercice : Déterminer la forme développée d'un polynôme du second degré à l'aide de ses racines réelles
  • Exercice : Factoriser un polynôme du second degré sous forme développée à l'aide de l'une de ses racines réelles
  • Exercice : Factoriser une fonction polynôme du second degré à l'aide d'une identité remarquable
  • Exercice : Factoriser une fonction polynôme de degré supérieur à 4 en produit de polynômes du second degré à l'aide d'une identité remarquable
  • Exercice : Factoriser une fonction polynôme du troisième degré à l'aide de l'une de ses racines réelles
  • Problème : Factoriser x^n-1 par x-1
  • Exercice : Déterminer la forme canonique d'un trinôme
  • Problème : Démontrer la formule de la forme canonique d'un polynôme du second degré
  • Exercice : Résoudre une équation du second degré sans coefficient constant
  • Exercice : Résoudre une équation du second degré avec un terme nul
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  • Exercice : Résoudre une équation du second degré
  • Exercice : Factoriser un polynôme de degré 3
  • Problème : Résoudre une équation avec un quotient de polynôme du second degré
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  • Exercice : Repérer un changement de variable transformant une équation de degré supérieur à 4 en équation du second degré
  • Exercice : Effectuer un changement de variable pour retrouver une équation du second degré
  • Exercice : Résoudre une équation irrationnelle
  • Exercice : Traduire un problème analytique sous forme d'une équation du second degré
  • Problème : Utiliser le second degré pour résoudre un problème concret
  • Exercice : Traduire un problème géométrique sous forme d'une équation du second degré
  • Problème : Étudier un problème géométrique par une équation du second degré
  • Problème : Démontrer la formule générale de la résolution d'une équation du second degré
  • Exercice : Compléter les signes dans le tableau de signe d'un polynôme du second degré sous forme développée
  • Exercice : Étudier le signe d'un polynôme du second degré sous forme factorisée
  • Exercice : Donner le tableau de signes d'un trinôme du second degré
  • Exercice : Étudier le signe d'un produit d'une fonction polynôme du second degré et d'une fonction affine
  • Exercice : Étudier le signe d'un produit de fonctions polynôme du second degré
  • Exercice : Résoudre une inéquation du second degré à l'aide du tableau de signes de la fonction polynôme associée
  • Exercice : Résoudre une inéquation du second degré sans coefficient constant
  • Exercice : Résoudre une inéquation du second degré avec un second terme nul
  • Exercice : Résoudre une inéquation du second degré sans terme nul
  • Exercice : Résoudre une inéquation du second degré
  • Exercice : Résoudre une inéquation quotient de polynôme du second degré avec un second terme nul
  • Exercice : Résoudre une inéquation quotient de polynôme du second degré sans terme nul
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  • Méthode : Donner le tableau de variations d'une fonction trinôme
  • Méthode : Donner l'allure de la courbe d'une fonction trinôme
  • Méthode : Montrer qu'un réel est racine d'un trinôme
  • Méthode : Déterminer des réels a, b et c pour factoriser un polynôme
  • Méthode : Résoudre une équation irrationnelle

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