Déterminer la forme canonique d'un trinômeMéthode

Méthode 1

En utilisant la formule

Soient a, b et c trois réels avec a non nul. La forme canonique du trinôme f\left(x\right)=ax^2+bx+c est f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta, avec :

  • \alpha=\dfrac{-b}{2a}
  • \beta=f\left(\alpha\right)=-\dfrac{\Delta}{4a}

S'il n'est pas demandé de détailler la mise sous forme canonique, on peut utiliser ces formules pour déterminer la forme canonique d'un trinôme du second degré.

On considère la fonction trinôme du second degré définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right)=2x^2-4x+1

Donner, en utilisant les formules du cours, la forme canonique de f.

Etape 1

Calculer \alpha

Si le trinôme, est de la forme f\left(x\right)=ax^2+bx+c, on identifie les coefficients a et b.

On a \alpha=-\dfrac{b}{2a}.

Ici, on a \forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right)=2x^2-4x+1. Ainsi :

  • a=2
  • b=-4

On calcule :

\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\times2}=\dfrac{4}{4}=1

Etape 2

Calculer \beta

On a :

\beta=f\left(\alpha\right)=-\dfrac{\Delta}{4a}

On calcule donc \beta en utilisant la valeur du discriminant \Delta (notamment s'il a déjà été calculé avant) ou en calculant f\left(\alpha\right).

On ne connaît pas déjà la valeur de \Delta, on calcule donc :

\beta=f\left(\alpha\right)=f\left(1\right)=2\times1^2-4\times1+1=-1

Etape 3

Conclure

Le trinôme a pour forme canonique f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta. On remplace les valeurs de \alpha et \beta obtenues dans la formule.

Or, on sait que le trinôme a pour forme canonique f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta.

On obtient ainsi :

\forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right)=2\left(x-1\right)^2-1

Méthode 2

En la retrouvant par le calcul

A l'aide d'une technique de calcul précise, on sait déterminer la forme canonique d'un trinôme du second degré.

On considère la fonction trinôme du second degré définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right)=3x^2-12x+18

Donner, en la retrouvant par le calcul, la forme canonique de f.

Etape 1

Factoriser par a

Le trinôme a pour expression f\left(x\right)=ax^2+bx+c

On factorise d'abord l'expression par a :

f\left(x\right) =a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)

On factorise l'expression par a=3 :

f\left(x\right) =3\left(x^2-4x+6\right)

Etape 2

Faire apparaître une identité remarquable

On remarque que :

x^2+\dfrac{b}{a}x= x^2 +2 \times \dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2} = \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2}

On remplace dans l'expression de f et on obtient :

f\left(x\right) =a\left[ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]

On sort les deux termes constants et on les met sur le même dénominateur.

On obtient finalement :

f\left(x\right) =a \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}

On remarque que :

x^2-4x= x^2 -2 \times2 \times x +4-4 = \left(x-2\right)^2 - 4

On remplace dans l'expression de f et on obtient :

f\left(x\right) =3\left[ \left(x-2\right)^2-4+6\right]

Soit f\left(x\right) =3\left[ \left(x-2\right)^2+2\right]

On sort le terme constant de la parenthèse, on obtient finalement :

f\left(x\right) =3 \left(x-2\right)^2+6

Etape 3

Conclure

Le trinôme a pour forme canonique, \forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2-4ac}{4a}.

On obtient donc :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) =3 \left(x-2\right)^2+6

Questions fréquentes

Quelles sont les matières disponibles sur Kartable ?

Sur Kartable, l'élève accède à toutes les matières principales de la primaire au lycée, y compris pour les spécialités et les options. Mathématiques, physique-chimie, SVT, sciences, français, littérature, histoire, géographie, enseignement moral et civique, SES, philosophie, anglais, allemand et espagnol.
Inscrivez-vous

Les cours sont-ils conformes aux programmes officiels de l'Education nationale ?

L'intégralité des cours sur Kartable est rédigée par des professeurs de l'Éducation nationale et est conforme au programme en vigueur, incluant la réforme du lycée de l'année 2019-2020.
Choisissez votre formule

L'élève peut-il accéder à tous les niveaux ?

Sur Kartable, l'élève peut accéder à toutes les matières dans tous les niveaux de son choix. Ainsi, il peut revenir sur les notions fondamentales qu'il n'aurait pas comprises les années précédentes et se perfectionner.
Plus d'info

Kartable est-il gratuit ?

L'inscription gratuite donne accès à 10 contenus (cours, exercices, fiches ou quiz). Pour débloquer l'accès illimité aux contenus, aux corrections d'exercices, mode hors-ligne et téléchargement en PDF, il faut souscrire à l'offre Kartable Premium.
Plus d'info

Qui rédige les cours de Kartable ?

L'intégralité des contenus disponibles sur Kartable est conçue par notre équipe pédagogique, composée de près de 200 enseignants de l'Éducation nationale que nous avons sélectionnés.
Afficher plus

Qu'est ce que le service Prof en ligne ?

L'option Prof en ligne est un service de chat en ligne entre élèves et professeurs. Notre Prof en ligne répond à toutes les questions sur les cours, exercices, méthodologie et aide au devoirs, pour toutes les classes et dans toutes les matières. Le service est ouvert du lundi au vendredi de 16h à 19h pour les membres ayant souscrit à l'option.
Choisissez votre formule