On considère l'équation suivante :
\sqrt{x^2+x-2}=2x+1
Quel est le domaine de définition de l'équation ?
L'équation existe si et seulement si : x^2+x-2\geqslant0
Déterminons le signe du trinôme x^2+x-2
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times1\times\left(-2\right)=1+8=9
\Delta\gt0 et a\gt0 donc le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif à l'intérieur.
Calcul des racines
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2\times1}=\dfrac{-1-3}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2\times1}=\dfrac{-1+3}{2}=\dfrac{2}{2}=1
Tableau de signes du trinôme
L'équation est définie sur \left]-\infty;-2 \right]\cup\left[1;+\infty \right[.
Quelle est la solution de l'équation ?
Sur son ensemble de définition, l'équation \sqrt{A}=B\Leftrightarrow A=B^2 \text{ et }B\geqslant0
Résolution de B\geqslant0
2x+1\geqslant0 \Leftrightarrow x\geqslant-\dfrac{1}{2}
Résolution de A=B^2
x^2+x-2=\left(2x+1\right)^2
\Leftrightarrow x^2+x-2=4x^2+4x+1
\Leftrightarrow -3x^2-3x-3=0
Calcul de \Delta
\Delta=b^2-4ac=\left(-3\right)^2-4\times\left(-3\right)\times\left(-3\right)=9-36=-27
\Delta\lt0 donc l'équation n'a pas de solution.
L'équation n'a pas de solution.