On a tracé les courbes représentatives des paraboles P_1 et P_2 sur le graphique suivant, sachant que leurs équations respectives sont :
- P_1:y=x^2+2x+a_1 \left( a_1\in\mathbb{R} \right)
- P_2:y=-x^2+a_2 \left( a_2\in\mathbb{R} \right)
Quelles sont les valeurs numériques de a_1 et a_2 ?
Association de chaque équation à sa parabole
Tout d'abord, il faut déterminer quelle est la représentation graphique de chacune des deux paraboles :
- L'équation de P_1 est un trinôme dont le coefficient du terme de degré 2 est positif, sa courbe représentative est alors décroissante puis croissante : il s'agit donc de la parabole rouge ;
- L'équation de P_2 est un trinôme dont le coefficient du terme de degré 2 est négatif, sa courbe représentative est alors croissante puis décroissante : il s'agit donc de la parabole bleue.
Détermination de la valeur de a_1
On remarque que : P_1\left(0\right)=a_1
Le réel a_1 est donc égal à l'ordonnée du point de P_1 d'abscisse 0 (qui correspond au point d'intersection de P_1 avec l'axe des ordonnées).
Par lecture graphique : a_1=-3 .
Détermination de la valeur de a_2
De même, le réel a_2 est égal à l'ordonnée du point de P_2 d'abscisse 0.
Par lecture graphique : a_2=1 .
On obtient :
- P_1:y=x^2+2x-3
- P_2:y=-x^2+1
Quelle est la solution de l'équation x^2+2x-3=5 ?
Les solutions de l'équation x^2+2x-3=5 sont les abscisses des points d'intersection de la parabole P_1 et de la droite horizontale d'équation y=5.
Par lecture graphique, on en déduit que les solutions de l'équation sont : -4 et 2.
Quelle est la solution de l'équation x^2+2x-3=-x^2+1 ?
Les solutions de l'équation x^2+2x-3=-x^2+1 sont les abscisses des points d'intersection des paraboles P_1 et P_2 .
Par lecture graphique, on en déduit que les solutions de l'équation sont : -2 et 1.
Quelle est la solution de l'inéquation x^2+2x-3\leqslant-x^2+1 ?
Les solutions de l'inéquation x^2+2x-3\leqslant-x^2+1 sont les valeurs de x pour lesquels la parabole P_1 est située en dessous de la parabole P_2 .
Par lecture graphique, on en déduit que les solutions de l'inéquation sont les réels de l'intervalle : \left[ -2;1 \right].