Première S 2016-2017

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Rechercher la mesure principale d'un angle

Un angle \(\displaystyle{\alpha}\) possède une infinité de mesures en radians. La mesure principale d'un angle est la mesure qui appartient à \(\displaystyle{\left]-\pi ; \pi \right]}\).

Déterminer la mesure principale de l'angle \(\displaystyle{\dfrac{153\pi}{6}}\).

Etape 1

Chercher \(\displaystyle{k\in \mathbb{Z}}\) tel que \(\displaystyle{\alpha+2k\pi \in\left] -\pi;\pi \right]}\)

On cherche à déterminer la mesure principale de l'angle \(\displaystyle{\alpha}\).

On écrit que l'on cherche \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\) tel que :

\(\displaystyle{-\pi \lt \alpha +k2\pi \leq \pi}\)

On résout cette inéquation pour obtenir un encadrement de k :

\(\displaystyle{-\pi - \alpha\lt k2\pi \leq \pi- \alpha}\)

Soit :

\(\displaystyle{\dfrac{-\pi - \alpha}{2\pi}\lt k \leq \dfrac{\pi- \alpha}{2\pi}}\)

On calcule ensuite une valeur approchée de \(\displaystyle{\dfrac{-\pi - \alpha}{2\pi}}\) et de \(\displaystyle{\dfrac{\pi - \alpha}{2\pi}}\), et on choisit la valeur de \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\) vérifiant l'inégalité.

k doit être un entier relatif.

On cherche l'entier relatif k tel que \(\displaystyle{-\pi \lt \dfrac{153\pi}{6}+k2\pi \leq \pi}\). On résout :

\(\displaystyle{-\pi \lt \dfrac{153\pi}{6}+k2\pi \leq \pi}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow -\pi-\dfrac{153\pi}{6} \lt +k2\pi \leq \pi-\dfrac{153\pi}{6}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow -\dfrac{159\pi}{6} \lt k2\pi \leq -\dfrac{147\pi}{6}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow -\dfrac{159\pi}{6 \times 2\pi} \lt k \leq -\dfrac{147\pi}{6\times 2\pi}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow -\dfrac{159}{12} \lt k \leq -\dfrac{147}{12}}\)

Or :

  • \(\displaystyle{- \dfrac{159}{12} = -13,25}\)
  • \(\displaystyle{- \dfrac{147}{12} = -12,25}\)

On en déduit donc que \(\displaystyle{k = -13}\).

Etape 2

Déterminer la mesure principale

Pour la valeur de k déterminée précédemment, on calcule \(\displaystyle{\alpha +k2\pi}\).

La valeur trouvée est la mesure principale de l'angle \(\displaystyle{\alpha}\).

On calcule \(\displaystyle{\dfrac{153\pi}{6} +2k\pi}\) avec la valeur de k trouvée précédemment :

\(\displaystyle{\dfrac{153\pi}{6} - 13 \times 2\pi = \dfrac{153\pi}{6} - 26\pi}\)

\(\displaystyle{\dfrac{153\pi}{6} - 13 \times 2\pi = \dfrac{153\pi}{6} - \dfrac{26\pi\times 6}{6}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{153\pi}{6} - 13 \times 2\pi = \dfrac{153\pi-156\pi}{6} }\)

\(\displaystyle{\dfrac{153\pi}{6} - 13 \times 2\pi = \dfrac{-3\pi}{6} }\)

\(\displaystyle{\dfrac{153\pi}{6} - 13 \times 2\pi = \dfrac{-\pi}{2} }\)

La mesure principe de l'angle \(\displaystyle{\dfrac{153\pi}{6} }\) est donc \(\displaystyle{- \dfrac{\pi}{2}}\).

Chapitre 6 La trigonométrie
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