Première S 2015-2016
Kartable
Première S 2015-2016

Donner les solutions d'une équation trigonométrique dans un intervalle donné

Lorsque l'on résout une équation trigonométrique, on obtient souvent une infinité de solutions sur . L'énoncé peut demander de restreindre l'ensemble de ces solutions à un intervalle I donné.

Résoudre l'équation trigonométrique suivante sur ]π;π] :

cos(3x)=1

Etape 1

Résoudre l'équation dans

On résout l'équation trigonométrique sur .

On obtient un ensemble de solutions de la forme S={a+kπb}, avec a, b et k.

On remarque que cos(π)=1

Donc, pour tout réel x :

cos(3x)=1

cos(3x)=cos(π)

D'après le cours, on sait que pour tous réels a et b :

cos(a)=cos(b)a=b+2kπ, ka=b+2kπ, k

Ici, en posant a=3x et b=π, on obtient, pour tout réel x :

cos(3x)=cos(π)

3x=π+2kπ, k3x=π+2kπ, k

x=π3+k2π3, kx=π3+k2π3, k

Or π3+1×2π3=π3

D'où, pour tout réel x :

cos(3x)=cos(π)

x=π3+k2π3, k

On en déduit que les solutions de l'équation sur sont :

S={π3+k2π3, k}

Etape 2

Rappeler l'intervalle demandé

On rappelle l'intervalle sur lequel on cherche les solutions de l'équation.

On cherche les solutions de l'équation sur ]π;π].

Etape 3

Déterminer les valeurs de k pour lesquelles la solution appartient à l'intervalle demandé

On cherche à déterminer k tel que les solutions de l'équation appartiennent à [c;d]

On écrit que l'on cherche k tel que :

π<a+kπbπ

On résout cette inéquation afin d'avoir un encadrement de k :

π<a+kπbπ

πa<kπbπa

Donc (πa)×bπ<k(πa)×bπ

On calcule ensuite une valeur approchée de (πa)×bπ et de (πa)×bπ, et on choisit les valeurs de k vérifiant l'inégalité.

On cherche l'entier relatif k tel que π<π3+k2π3π :

π<π3+k2π3π

ππ3<k2π3ππ3

4π3<k2π32π3

4π3×32π<k2π3×32π

2<k1

On en déduit donc que k peut prendre les valeurs k=1 ; k=0 et k=1.

Etape 4

Conclure

Pour les valeurs de k déterminées précédemment, on calcule a+kπb.

Les valeurs trouvées sont les solutions de l'équation trigonométriques sur [c;d].

On calcule π3+k2π3 avec les valeurs de k trouvées précédemment :

  • π31×2π3=π3
  • π3+0×2π3=π3
  • π3+1×2π3=3π3=π

On en déduit que les solutions de l'équation cos(3x)=1 sur ]π;π] sont :

S={π3;π3;π}

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