Calculer une variance et un écart-type

La variance et l'écart-type d'une variable aléatoire X donne des informations sur la dispersion des valeurs de X.

Le tableau suivant donne la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

\(\displaystyle{x_i}\)	0	2	4	6	8
\(\displaystyle{p\left(x=x_i\right)}\)	0,1	0,25	0,4	0,15	0,1

Calculer \(\displaystyle{V\left(X\right)}\) et \(\displaystyle{\sigma \left(X\right)}\).

Etape 1

Rappeler la loi de probabilité de X

Si elle n'a pas déjà été déterminée, on détermine la loi de probabilité de X. Sinon, on la rappelle.

Ici, la loi de probabilité de X est donnée dans l'énoncé :

\(\displaystyle{x_i}\)	0	2	4	6	8
\(\displaystyle{p\left(x=X_i\right)}\)	0,1	0,25	0,4	0,15	0,1

Etape 2

Enoncer la formule

On rappelle les formules :

\(\displaystyle{V\left(X\right) = \sum_{i=0}^{n}\left(x_i-E\left(X\right)\right)^2\times p\left(X = x_i\right)}\)
\(\displaystyle{\sigma \left(X\right) = \sqrt{V\left(X\right)}}\)

D'après le cours :

\(\displaystyle{V\left(X\right) = \sum_{i=0}^{n}\left(x_i-E\left(X\right)\right)^2\times p\left(X = x_i\right)}\)
\(\displaystyle{\sigma \left(X\right) = \sqrt{V\left(X\right)}}\)

Etape 3

Calculer ou rappeler la valeur de l'espérance

On rappelle que \(\displaystyle{E\left(X\right) =\sum x_i p\left(X=x_i\right) }\).

On calcule la valeur de l'espérance. Si elle a déjà été calculée dans les questions précédentes, on la rappelle.

On sait que :

\(\displaystyle{E\left(X\right) =\sum x_i p\left(X=x_i\right) }\)

Soit :

\(\displaystyle{E\left(X\right) = 0 \times 0,1+ 2\times 0,25+4\times 0,4 + 6\times 0,15 + 8\times 0,10}\).

\(\displaystyle{E\left(X\right) = 3,8}\)

Etape 4

Appliquer la formule

On applique la formule afin de trouver la valeur de la variance, puis de l'écart-type.

On a :

\(\displaystyle{V\left(X\right) = \sum_{i=0}^{n}\left(x_i-E\left(X\right)^2\right)\times P\left(X = x_i\right)}\).

Soit, ici :

\(\displaystyle{V\left(X\right) =\left(0-3,8\right)^2\times 0,1+\left(2-3,8\right)^2\times 0,25+\left(4-3,8\right)^2\times 0,4+\left(6-3,8\right)^2\times 0,15 +\left(8-3,8\right)^2\times 0,1}\)

\(\displaystyle{V\left(X\right) = 4,76}\)

De plus, on sait que :

\(\displaystyle{\sigma \left(X\right) = \sqrt{V\left(X\right)}}\)

Soit :

\(\displaystyle{\sigma \left(X\right) \approx 2,18}\)

Etape 5

Interpréter la variance

Plus la variance est élevée, plus la dispersion des valeurs par rapport à l'espérance est forte.

En pratique, on peut interpréter une variance uniquement en la comparant à une autre.

Afin de calculer la variance, on peut également utiliser la formule : \(\displaystyle{V\left(X\right) = \sum_{i=0}^{n} \left[\left(x_i\right)^2 p\left(X=x_i\right)\right]-\left(E\left(X\right)\right)^2}\)