Première S 2015-2016

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Les trinômes du second degré

I

Les trinômes du second degré : caractérisation

Trinôme du second degré

On appelle fonction trinôme du second degré (ou fonction polynôme du second degré, ou plus simplement trinôme) toute fonction T définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et admettant une expression du type :

\(\displaystyle{T\left(x\right) = ax^{2} + bx + c}\)

a, b et c sont des réels quelconques avec \(\displaystyle{a\neq0}\)

La fonction définie pour tout réel \(\displaystyle{x}\) par \(\displaystyle{P\left(x\right) = 2x^2 + x - 3}\) est un trinôme du second degré.

Discriminant

Avec les notations précédentes, on appelle discriminant du trinôme \(\displaystyle{T}\) le réel :

\(\displaystyle{\Delta = b^{2} - 4ac}\)

On calcule le discriminant du trinôme défini pour tout réel \(\displaystyle{x}\) par \(\displaystyle{P\left(x\right) = \color{Blue}{2}x^2 + \color{Red}{1}x \color{Green}{- 3}}\) :

\(\displaystyle{\Delta = \color{Red}{1}^2 - 4 \times \color{Blue}{2} \times \color{Green}{\left(-3\right)}}\)

\(\displaystyle{\Delta = 1 - \left(-24\right) = 1 + 24 = 25}\)

Forme canonique d'un trinôme

Soit T une fonction trinôme du second degré. On appelle forme canonique de \(\displaystyle{T\left(x\right)}\) toute forme du type :

\(\displaystyle{T\left(x\right) = a \left[ \left( x -\alpha\right)\,^{2}\right] +\beta}\)

a, \(\displaystyle{\alpha}\) et \(\displaystyle{\beta}\) sont des réels quelconques avec \(\displaystyle{a\neq0}\)

Forme canonique

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{T\left(x\right)=ax^2+bx+c}\), avec \(\displaystyle{a\neq0}\). Alors la forme canonique de \(\displaystyle{T\left(x\right)}\) est unique et donnée par :

\(\displaystyle{T\left(x\right) = a \left[ \left( x -\alpha\right)^{2}\right] +\beta}\) avec \(\displaystyle{\alpha=-\dfrac{b}{2a}}\) et \(\displaystyle{\beta=\dfrac{-\Delta}{4a}}\)

La forme canonique du trinôme P défini sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{P\left(x\right)=3x^2-5x+1}\) se détermine en calculant \(\displaystyle{\alpha}\) et \(\displaystyle{\beta}\).

\(\displaystyle{\alpha=\dfrac{-\left(-5\right)}{2\times3}=\dfrac56}\) et \(\displaystyle{\beta =\dfrac{-\left( \left(-5\right)^2-4\times3\times1 \right)}{4\times3}=-\dfrac{13}{12}}\)

Ainsi, la forme canonique est :

\(\displaystyle{P\left(x\right)=3\left( x-\dfrac56\right)^2-\dfrac{13}{12}}\)

II

Variations

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{T\left(x\right)=ax^2+bx+c}\), où a, b et c sont des réels quelconques avec \(\displaystyle{a\neq0}\). Notons \(\displaystyle{T\left(x\right) = a \left[ \left( x -\alpha\right)\,^{2}\right] +\beta}\) sa forme canonique.

Cas 1

Si \(\displaystyle{a\gt0}\)

Le trinôme est décroissant sur \(\displaystyle{\left] - \infty;\alpha\right]}\) et croissant sur \(\displaystyle{\left[ \alpha;+\infty\right[}\).

-
Cas 2

Si \(\displaystyle{a\lt0}\)

Le trinôme est croissant sur \(\displaystyle{\left] - \infty;\alpha\right]}\) et décroissant sur \(\displaystyle{\left[ \alpha;+\infty\right[}\).

-
III

Représentation graphique

Parabole

On appelle parabole toute représentation graphique d'une fonction trinôme dans un repère du plan.

Sommet

On appelle sommet de la parabole le point correspondant à l'extremum de la fonction trinôme.

Parabole

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{T\left(x\right)=ax^2+bx+c}\), avec \(\displaystyle{a\neq0}\). La courbe représentative du trinôme \(\displaystyle{T}\) est une parabole, de sommet \(\displaystyle{S}\) :

\(\displaystyle{S \text{ } \left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta }{4a}\right)}\)

Soit f la fonction définie pour tout réel x par : \(\displaystyle{f\left(x\right)=5x^2-2x+1}\)

On a ici : \(\displaystyle{a=5}\), \(\displaystyle{b=-2}\), \(\displaystyle{c=1}\).

Donc :

  • \(\displaystyle{-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}}\)
  • \(\displaystyle{-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{\left(-2\right)^2-4\times5\times1}{4\times5}=-\dfrac{-16}{20}=\dfrac{4}{5}}\)

La courbe représentative de la fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=5x^2-2x+1}\) est donc une parabole de sommet S de coordonnées : \(\displaystyle{\left( \dfrac15;\dfrac45 \right)}\).

L'allure de la parabole représentative du trinôme \(\displaystyle{T}\) dépend du signe de \(\displaystyle{a}\) :

  • Si \(\displaystyle{a \gt 0}\), alors la parabole décroît puis croît et le trinôme admet donc un minimum (égal à l'ordonnée du sommet de la parabole).
  • Si \(\displaystyle{a \lt 0}\), alors la parabole croît puis décroît et le trinôme admet donc un maximum (égal à l'ordonnée du sommet de la parabole).

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{T\left(x\right)=ax^2+bx+c}\), avec \(\displaystyle{a\neq0}\). On note \(\displaystyle{\Delta}\) son discriminant.

Cas 1

Allure de la parabole si \(\displaystyle{a \gt 0}\) et \(\displaystyle{\Delta \lt 0}\)

-

La courbe représentative de la fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=5x^2-2x+1}\) avec \(\displaystyle{a=5}\) et \(\displaystyle{\Delta=-16}\) a une allure similaire à celle ci-dessus.

On remarque que la courbe ne coupe jamais l'axe des abscisses.

Cas 2

Allure de la parabole si \(\displaystyle{a \gt 0}\) et \(\displaystyle{\Delta = 0}\)

-

La courbe représentative de la fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=3x^2-30x+75}\) avec \(\displaystyle{a=3}\) et \(\displaystyle{\Delta=0}\) a une allure similaire à celle ci-dessus.

On remarque que la courbe et l'axe des abscisses ont un point en commun.

Cas 3

Allure de la parabole si \(\displaystyle{a \gt 0}\) et \(\displaystyle{\Delta \gt 0}\)

-

La courbe représentative de la fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=2x^2+8x-24}\) avec \(\displaystyle{a=2}\) et \(\displaystyle{\Delta=256}\) a une allure similaire à celle ci-dessus.

On remarque que la courbe coupe deux fois l'axe des abscisses.

Cas 4

Allure de la parabole si \(\displaystyle{a \lt 0}\) et \(\displaystyle{\Delta \lt 0}\)

-

La courbe représentative de la fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=-3x^2+4x-13}\) avec \(\displaystyle{a=-3}\) et \(\displaystyle{\Delta=-140}\) a une allure similaire à celle ci-dessus.

On remarque que la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses.

Cas 5

Allure de la parabole si \(\displaystyle{a \lt 0}\) et \(\displaystyle{\Delta = 0}\)

-

La courbe représentative de la fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=-5x^2-70x-245}\) avec \(\displaystyle{a=-5}\) et \(\displaystyle{\Delta=0}\) a une allure similaire à celle ci-dessus.

On remarque que la courbe et l'axe des abscisses ont un point en commun.

Cas 6

Allure de la parabole si \(\displaystyle{a \lt 0}\) et \(\displaystyle{\Delta \gt 0}\)

-

La courbe représentative de la fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=-7x^2+21x-14}\) avec \(\displaystyle{a=-7}\) et \(\displaystyle{\Delta=49}\) a une allure similaire à celle ci-dessus.

On remarque que la courbe coupe deux fois l'axe des abscisses.

IV

Racines du trinôme

Racines

Soit T une fonction trinôme définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{T\left(x\right)=ax^2+bx+c}\), avec \(\displaystyle{a\neq0}\). Les racines du trinôme \(\displaystyle{T\left(x\right)}\) sont les valeurs de \(\displaystyle{x}\) pour lesquelles il s'annule. Ce sont les solutions de l'équation \(\displaystyle{T\left(x\right)=0}\) c'est-à-dire \(\displaystyle{ax^2+bx+c=0}\) .

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{T\left(x\right)=ax^2+bx+c}\), avec \(\displaystyle{a\neq0}\). Notons \(\displaystyle{\Delta}\) son discriminant.

Cas 1

Si \(\displaystyle{\Delta \lt 0}\)

Le trinôme n'a pas de racine réelle.

Considérons le polynôme \(\displaystyle{P\left(x\right)=5x^2-2x+1}\).

\(\displaystyle{\Delta=\left(-2\right)^2-4\times5\times1=-16}\)

Le polynôme ne possède pas de racine car \(\displaystyle{\Delta\lt0}\).

-
Cas 2

Si \(\displaystyle{\Delta = 0}\)

Le trinôme a une unique racine qu'on appelle racine double :

\(\displaystyle{x_{0} = -\dfrac{b}{2a}}\)

Considérons le polynôme \(\displaystyle{P\left(x\right)=-5x^2-70x-245}\).

\(\displaystyle{\Delta=\left(-70\right)^2-4\times\left(-5\right)\times\left(-245\right)=0}\)

Le polynôme possède une racine double car \(\displaystyle{\Delta=0}\).

\(\displaystyle{x_0=\dfrac{-\left(-70\right)}{2\times\left(-5\right)}=-7}\)

-
Cas 3

Si \(\displaystyle{\Delta\gt0}\)

Le trinôme a deux racines réelles distinctes :

\(\displaystyle{x_{1} =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}}\)

\(\displaystyle{x_{2} =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}}\)

Considérons le polynôme \(\displaystyle{P\left(x\right)=3x^2-2x-1}\).

\(\displaystyle{\Delta=\left(-2\right)^2-4\times3\times\left(-1\right)=16}\)

On a donc \(\displaystyle{\Delta\gt0}\). Le trinôme possède deux racines :

\(\displaystyle{x_1=\dfrac{-\left(-2\right)-\sqrt{16}}{2\times3}=-\dfrac13}\) et \(\displaystyle{x_2=\dfrac{-\left(-2\right)+\sqrt{16}}{2\times3}=1}\)

-
V

Factorisation du trinôme

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{T\left(x\right)=ax^2+bx+c}\), avec \(\displaystyle{a\neq0}\). Notons \(\displaystyle{\Delta}\) son discriminant.

Cas 1

Si \(\displaystyle{\Delta\lt0}\)

Le trinôme n'est pas factorisable.

Considérons le polynôme \(\displaystyle{P\left(x\right)=5x^2-2x+1}\).

\(\displaystyle{\Delta=\left(-2\right)^2-4\times5\times1=-16}\)

Le polynôme ne possède pas de racine car \(\displaystyle{\Delta\lt0}\).

On ne peut pas factoriser le trinôme.

Cas 2

Si \(\displaystyle{\Delta=0}\)

Le trinôme peut se factoriser sous la forme :

\(\displaystyle{T\left(x\right) = a \left(x - x_{0}\right)^{2}}\)

Considérons le polynôme \(\displaystyle{P\left(x\right)=-5x^2-70x-245}\).

\(\displaystyle{\Delta=\left(-70\right)^2-4\times\left(-5\right)\times\left(-245\right)=0}\)

Le polynôme possède une racine double car \(\displaystyle{\Delta=0}\).

\(\displaystyle{x_0=\dfrac{-\left(-70\right)}{2\times\left(-5\right)}=-7}\)

Il peut s'écrire sous la forme : \(\displaystyle{P\left(x\right)=-5\left( x-\left(-7\right) \right)^2=-5\left( x+7 \right)^2}\).

Cas 3

Si \(\displaystyle{\Delta\gt0}\)

Le trinôme peut se factoriser sous la forme :

\(\displaystyle{T\left(x\right) = a \left(x - x_{1}\right) \left(x - x_{2}\right)}\)

Considérons le polynôme \(\displaystyle{P\left(x\right)=3x^2-2x-1}\).

\(\displaystyle{\Delta=\left(-2\right)^2-4\times3\times\left(-1\right)=16}\)

On a donc \(\displaystyle{\Delta\gt0}\). Le trinôme possède deux racines :

\(\displaystyle{x_1=\dfrac{-\left(-2\right)-\sqrt{16}}{2\times3}=-\dfrac13}\) ou \(\displaystyle{x_2=\dfrac{-\left(-2\right)+\sqrt{16}}{2\times3}=1}\)

Il peut s'écrire sous forme factorisée :

\(\displaystyle{P\left(x\right)=3\left( x-\left( -\dfrac13 \right) \right)\left( x-1 \right)=3\left( x+\dfrac13 \right)\left( x-1 \right)}\).

VI

Signe du trinôme

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{T\left(x\right)=ax^2+bx+c}\), avec \(\displaystyle{a\neq0}\). Notons \(\displaystyle{\Delta}\) son discriminant.

Cas 1

Si \(\displaystyle{\Delta\lt0}\)

-

Considérons le polynôme \(\displaystyle{P\left(x\right)=5x^2-2x+1}\).

\(\displaystyle{\Delta=-16}\)

Donc le polynôme ne possède pas de racine car \(\displaystyle{\Delta\lt0}\).

Quelle que soit la valeur de \(\displaystyle{x}\), le polynôme a le signe de \(\displaystyle{a=5}\). Donc \(\displaystyle{P\left(x\right)\gt0}\), pour tout réel \(\displaystyle{x}\).

La parabole représentant le polynôme est toujours située strictement au-dessus de l'axe des abscisses.

-
Cas 2

Si \(\displaystyle{\Delta=0}\)

-

Considérons le polynôme \(\displaystyle{P\left(x\right)=-5x^2-70x-245}\).

Le polynôme possède une racine double, car \(\displaystyle{\Delta=0}\), qui est \(\displaystyle{x_0=-7}\).

Quelle que soit la valeur de \(\displaystyle{x}\), le polynôme a le signe de \(\displaystyle{a=-5}\). Donc \(\displaystyle{P\left(x\right)\leq0}\), pour tout réel \(\displaystyle{x}\).

La parabole représentant le polynôme est toujours située au-dessous de l'axe des abscisses.

-
Cas 3

Si \(\displaystyle{\Delta\gt0}\)

-

Considérons le polynôme \(\displaystyle{P\left(x\right)=3x^2-2x-1}\).

\(\displaystyle{\Delta=16}\)

On a donc \(\displaystyle{\Delta\gt0}\). Le trinôme possède deux racines : \(\displaystyle{x_1=-\dfrac13}\) et \(\displaystyle{x_2=1}\).

Le polynôme a le signe de \(\displaystyle{a=3}\) "à l'extérieur des racines" et le signe contraire "entre les racines".

Pour tout réel \(\displaystyle{x\in\left] -\infty ;-\dfrac13\right]\cup\left[ 1;+\infty \right[}\), on a \(\displaystyle{P\left(x\right)\geq 0}\) et la parabole est située au-dessus de l'axe des abscisses.

Pour tout réel \(\displaystyle{x\in\left[ -\dfrac13;1\right]}\), on a \(\displaystyle{P\left(x\right)\leq 0}\) et la parabole est située au-dessous de l'axe des abscisses.

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Chapitre 1 Les trinômes du second degré
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