Quel est le taux d'accroissement \tau_{x, x+h} de la fonction \ln entre x et x +h ?
Soit f (définie sur un intervalle I). Le taux d'accroissement de f entre deux réels distincts a,b \in I est le nombre réel m :
m=\dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}
Ainsi, avec a = x et b=x+ h, on a :
\tau_{x,x+h}=\dfrac{ln(x+h)-ln(x)}{(x+h)-x}=\dfrac{ln(x+h)-ln(x)}{h} pour x \gt 0 et h \gt 0
Donc \tau_{x, x+h} = \dfrac{\ln(x+h) - \ln(x)}{h} .
Soit x_0, h \in \mathbb{R}_+^* .
On pose y_0 = \ln(x_0) et H = \ln(x_0 + h) - y_0 .
Que vaut h en fonction de y_{0} et de H ?
On a :
H = \ln(x_0 + h) -y_0
Donc :
H = \ln(x_0+h) - \ln(x_0)
Comme y_0 = \ln(x_0) , on a :
x_0 = \exp(y_0)
et
\ln(x_0 + h) = H + y_0
Donc :
x_0 + h = \exp(H + y_0) = \exp(H) \exp(y_0)
Finalement :
h =\exp(H)\exp(y_{0})-x_{0}
h = \exp(H) \exp(y_0) - \exp(y_0)
En factorisant, on obtient donc : h = \exp(y_0) \left(\exp(H) - 1 \right) .
On pose y_{0}=\ln(x_{0}) et H=\ln(x_{0}+h)-y_{0}.
Que vaut le taux d'accroissement \tau_{x, x+h} de la fonction \ln entre x_0 et x_0 +h en fonction de H et y_0 ?
On a :
\tau_{x_0, x_0+h} = \dfrac{\ln(x_0+h) - \ln(x_0)}{h}
\tau_{x_0, x_0+h} = \dfrac{y_0 + H - y_0}{\exp(y_0) \times \left( \exp(H) - 1 \right)}
\tau_{x_0, x_0+h} = \dfrac{H}{\exp(H) - 1} \times \dfrac{1}{\exp(y_0)}
Donc \tau_{x_0, x_0+h} = \dfrac{H}{\exp(H) - 1} \times \dfrac{1}{\exp(y_0)} .
Quelle est la limite du taux d'accroissement \tau_{x_0, x_0+h} de la fonction \ln entre x_0 et x_0 +h ?
La fonction \ln est continue sur \mathbb{R}_+^* , donc \ln(x_0 + h) tend vers \ln(x_0) quand h tend vers 0 .
Ainsi :
\lim\limits_{h \to 0} \ln(x_0+h) - \ln(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} H = 0 = \lim\limits_{H \to 0} H
Donc :
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\ln(x_0+h)-\ln(x_0)}{h} = \lim\limits_{H \to 0} \dfrac{H}{\exp(H) - 1} \times \dfrac{1}{\exp(y_0)}
Or :
\lim\limits_{H \to 0} \dfrac{\exp(H)-1}{H} = \lim\limits_{H \to 0} \dfrac{\exp(H) - \exp(0)}{H}
\lim\limits_{H \to 0} \dfrac{\exp(H)-1}{H} = \exp'(0) = \exp(0) = 1
Et :
\dfrac{1}{\exp(y_0)} = \dfrac{1}{x_0}
Ainsi, \lim\limits_{h \to 0}\tau_{x_{0},x_{0}+h}=\dfrac{1}{x_{0}}.
Quelle est la dérivée de \ln sur \mathbb{R}_+^* ?
On a :
\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{\ln(x_{0}+h)-\ln(x_{0})}{h}=\dfrac{1}{x_{0}}
On déduit que la fonction \ln est dérivable en x_0 et que sa dérivée en x_0 est \dfrac{1}{x_0} .
Ainsi, \ln'(x) = \dfrac{1}{x} .