Dans cet exercice, on étudie la fonction d'expression f(x)=(\ln(x))^2 .
Quel est l'ensemble de dérivabilité D de la fonction f ?
La fonction f est la composée de la fonction logarithme népérien suivie de la fonction carré.
La fonction carré étant dérivable sur \mathbb{R}, la fonction f est dérivable sur l'ensemble de dérivabilité de la fonction \text{ln}.
Ainsi, l'ensemble de dérivabilité D de la fonction f est D=\mathbb{R}_+^\star.
Quelle est une expression de f' sur D ?
La fonction f est une fonction composée.
D'après le cours, la dérivée de la fonction u\circ v est :
(u\circ v)'(x)=v'(x)u'(v(x))
Dans le cas de l'exercice :
u(x) = x^2 , donc u'(x) = 2x
v(x)=\ln(x) , donc v'(x) = \dfrac{1}{x}
En rassemblant ces informations, on a pour tout x\in D :
f'(x) = \dfrac{1}{x}\times 2\ln(x)=\dfrac{2\ln(x)}{x}
Donc, pour tout x\in D : f'(x) =\dfrac{2\ln(x)}{x}.
Quel est le signe de f'(x) ?
On rappelle que pour tout x\in D :
f'(x) =\dfrac{2\ln(x)}{x}
Pour tout x\in D , x>0.
Donc f'(x) est du signe de 2\ln(x) .
2\ln(x) \geq 0 \Leftrightarrow \ln(x) \geq 0 (division par 2 strictement positive)
\Leftrightarrow e^{\ln(x)} \geq e^0 (composition par la fonction exponentielle strictement positive sur \mathbb{R})
\Leftrightarrow x \geq 1
Finalement :
- f' est positive sur [1;+\infty[ .
- f' est négative sur ]0;1] .
Par déduction, quel est le tableau de variations complet de f sur D ?
On a déterminé le signe de la dérivée de f à la question précédente, donc on peut en déduire les variations de f :
- f est croissante sur [1;+\infty[ .
- f est décroissante sur ]0;1] .
Pour compléter le tableau de variations, il faut déterminer les limites de f ainsi que la valeur de f(1).
Limite en 0 :
On sait que :
\lim \limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty
De plus :
\lim \limits_{x \to -\infty} x² = + \infty
Comme f est la composée du logarithme népérien par la fonction carré, on a :
\lim \limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty
Limite en +\infty :
On sait que :
\lim \limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty
De plus :
\lim \limits_{x \to +\infty} x^2 = + \infty
Comme f est la composée du logarithme népérien par la fonction carré, on a :
\lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
Valeur de f(1) :
f(1) = (\ln(1))^2=0^2=0
On peut finalement en déduire le tableau de variations de f :
