Soit f(x) = (3x+2)^2, \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = (u(x))^2 .
En posant :
u(x) = 3x+2
On a :
f'(x) = 2 \times u'(x) \times u(x)
Or :
u'(x) = (3x+2)' = (3x)' + (2)' = 3
Ainsi :
f'(x) = 2 \times 3 \times (3x+2) = 6 (3x+2)
Donc f'(x) = 18x + 12 .
Soit f(x) = (-x+4)^2, \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = (u(x))^2 .
En posant :
u(x) = (-x+4)
On a :
f'(x) = 2 \times u'(x) \times u(x)
Or :
u'(x) = (-x+4)' = (-x)' + (4)' = -1
Ainsi :
f'(x) = 2 \times (-1) \times (-x+4) = -2 (-x+4)
Donc f'(x) = 2x -8 .
Soit f(x) = \left(\dfrac{1}{x-1}\right)^2, \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = (u(x))^2 .
En posant :
u(x) = \dfrac{1}{x-1}
On a :
f'(x) = 2 \times u'(x) \times u(x)
Or :
u'(x) = \left(\dfrac{1}{x-1}\right)' = - \dfrac{1}{(x-1)^2}
Ainsi :
f'(x) = 2 \times \left(- \dfrac{1}{(x-1)^2} \right) \times \dfrac{1}{x-1} =- \dfrac{2}{(x-1)^3}
Donc f'(x) = - \dfrac{2}{(x-1)^3} .
Soit f(x) = \left(\sqrt{x} + 1\right)^2, \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = (u(x))^2 .
En posant :
u(x) = \sqrt{x}+1
On a :
f'(x) = 2 \times u'(x) \times u(x)
Or :
u'(x) = (\sqrt{x}+1)' = (\sqrt{x})' + (1)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Ainsi :
f'(x) = 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \times (\sqrt{x}+1) = 2 \dfrac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}
Donc f'(x) = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} .
Soit f(x) = \left(\cos(x)\right)^2, \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = (u(x))^2 .
En posant :
u(x) = \cos(x)
On a :
f'(x) = 2 \times u'(x) \times u(x)
Or :
u'(x) = (\cos(x))' = -\sin(x)
Ainsi :
f'(x) = 2 \times (-\sin(x)) \times \cos(x) = - 2 \sin(x) \cos(x)
Or :
2 \sin(x) \cos(x) = \sin(2x)
Donc f'(x) = -\sin(2x) .