Quelles sont les solutions de l'inéquation e^{2 x} e^{x^{2}} > 1 ?
Pour résoudre une équation avec des exponentielles, on souhaite avoir une unique exponentielle à droite et à gauche de l'équation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \exp(x) .
Pour tout nombre réel x et y, on a la propriété suivante pour l'exponentielle :
\exp\left(x-y \right) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}
et
\exp\left(x+y \right) = \exp(x)\exp(y)
On peut donc simplifier l'équation :
e^{2 x} e^{x^{2}} > 1 \Leftrightarrow e^{x \left(x + 2\right)} > e^0
Comme pour tout nombre réel x et y, on a la propriété suivante pour l'exponentielle :
\exp(x) \geq \exp(y) \Leftrightarrow x \geq y
e^{2 x} e^{x^{2}} > 1 \Leftrightarrow x \left(x + 2\right) > 0
L'expression x(x+2) est un polynôme du second degré qui s'annule en x = -2 et x = 0 .
Il est positif à l'extérieur de ses racines.
On en déduit que les solutions de cette équation sont ]-\infty;-2[ \cup \mathbb{R}_+^* .
Quelles sont les solutions de l'inéquation e^{x + 5} e^{2 x + 1} > 1 ?
Pour résoudre une équation avec des exponentielles, on souhaite avoir une unique exponentielle à droite et à gauche de l'équation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \exp(x) .
Pour tout nombre réel x et y, on a la propriété suivante pour l'exponentielle :
\exp\left(x-y \right) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}
et
\exp\left(x+y \right) = \exp(x)\exp(y)
On peut donc simplifier l'équation :
e^{x + 5} e^{2 x + 1} > 1 \Leftrightarrow e^{3 x + 6} > 1
e^{x + 5} e^{2 x + 1} > 1 \Leftrightarrow e^{3 x + 6} > e^0
Comme pour tout nombre réel x et y, on a la propriété suivante pour l'exponentielle :
\exp(x) \geq \exp(y) \Leftrightarrow x \geq y
e^{x + 5} e^{2 x + 1} > 1 \Leftrightarrow 3 x + 6 > 0
On en déduit que les solutions de cette équation sont \left]-2; +\infty\right[ .
Quelles sont les solutions de l'inéquation e^{3 x} e^{4x} > 1 ?
Pour résoudre une équation avec des exponentielles, on souhaite avoir une unique exponentielle à droite et à gauche de l'équation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \exp(x) .
Pour tout nombre réel x et y, on a la propriété suivante pour l'exponentielle :
\exp\left(x-y \right) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}
et
\exp\left(x+y \right) = \exp(x)\exp(y)
On peut donc simplifier l'équation :
e^{3 x} e^{4x} > 1 \Leftrightarrow e^{7 x} > e^0
Comme pour tout nombre réel x et y, on a la propriété suivante pour l'exponentielle :
\exp(x) \geq \exp(y) \Leftrightarrow x \geq y
e^{3 x} e^{4x} > 1 \Leftrightarrow 7 x > 0
On en déduit que les solutions de cette équation sont \mathbb{R}_+^* .
Quelles sont les solutions de l'inéquation \dfrac{e^{x + 3}}{e^{x-2}} > 1 ?
Pour résoudre une équation avec des exponentielles, on souhaite avoir une unique exponentielle à droite et à gauche de l'équation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \exp(x) .
Pour tout nombre réel x et y, on a la propriété suivante pour l'exponentielle :
\exp\left(x-y \right) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}
et
\exp\left(x+y \right) = \exp(x)\exp(y)
On peut donc simplifier l'équation :
\dfrac{e^{x + 3}}{e^{x-2}} > 1 \Leftrightarrow e^{x+3} e^{2-x} > e^0
\dfrac{e^{x + 3}}{e^{x-2}} > 1 \Leftrightarrow e^{x+3 + 2-x} > e^0
\dfrac{e^{x + 3}}{e^{x-2}} > 1 \Leftrightarrow e^{5} > e^0
Cette équation est toujours vraie, donc les solutions sont \mathbb{R} .
Quelles sont les solutions de l'inéquation \dfrac{e^{x - 1}}{ e^{-x - 6}} > 1 ?
Pour résoudre une équation avec des exponentielles, on souhaite avoir une unique exponentielle à droite et à gauche de l'équation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \exp(x) .
Pour tout nombre réel x et y, on a la propriété suivante pour l'exponentielle :
\exp\left(x-y \right) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}
et
\exp\left(x+y \right) = \exp(x)\exp(y)
On peut donc simplifier l'équation :
\dfrac{e^{x - 1}}{ e^{-x - 6}} > 1 \Leftrightarrow e^{2 x + 5} > e^0
Comme pour tout nombre réel x et y, on a la propriété suivante pour l'exponentielle :
\exp(x) \geq \exp(y) \Leftrightarrow x \geq y
\dfrac{e^{x - 1}}{ e^{-x - 6}} > 1 \Leftrightarrow 2 x + 5 > 0
\dfrac{e^{x - 1}}{ e^{-x - 6}} > 1 \Leftrightarrow x > -\dfrac{5}{2}
On en déduit que les solutions de cette équation sont \left]- \frac{5}{2}; +\infty\right[.