Quelles sont les solutions de l'équation e^{x^{2}} e^{2x + 3} - e^{2} = 0 ?
Pour résoudre une équation avec des exponentielles, on souhaite avoir une unique exponentielle à droite et à gauche de l'équation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \exp(x) .
Pour tout nombre réel x et y, on a la propriété suivante pour l'exponentielle :
\exp\left(x+y \right) = \exp(x)\exp(y)
On peut donc simplifier l'équation :
e^{x^{2}} e^{2x + 3} - e^{2} = 0 \Leftrightarrow e^{x^2 + 2x + 3} = e^2
Comme pour tout nombre réel x et y, on a :
\exp(x) = \exp(y) \Leftrightarrow x = y
e^{x^{2}} e^{2x + 3} - e^{2} = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x + 3 = 2
e^{x^{2}} e^{2x + 3} - e^{2} = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x + 1 = 0
e^{x^{2}} e^{2x + 3} - e^{2} = 0 \Leftrightarrow (x+1)^2 = 0
On en déduit que l'unique solution de cette équation est \left\{ -1 \right\} .
Quelles sont les solutions de l'équation e^{x + 3} e^{x + 4} - 1 = 0 ?
Pour résoudre une équation avec des exponentielles, on souhaite avoir une unique exponentielle à droite et à gauche de l'équation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \exp(x) .
Pour tout nombre réel x et y, on a la propriété suivante pour l'exponentielle :
\exp\left(x+y \right) = \exp(x)\exp(y)
On peut donc simplifier l'équation :
e^{x + 3} e^{x + 4} - 1 = 0 \Leftrightarrow e^{2 x + 7} - 1 = 0
e^{x + 3} e^{x + 4} - 1 = 0 \Leftrightarrow e^{2 x + 7} = e^0
Comme pour tout nombre réel x et y, on a :
\exp(x) = \exp(y) \Leftrightarrow x = y
e^{x + 3} e^{x + 4} - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 x + 7=0
On en déduit que l'unique solution de cette équation est \left\{- \frac{7}{2}\right\} .
Quelles sont les solutions de l'équation e^{5 x} - e^{3} = 0 ?
Pour résoudre une équation avec des exponentielles, on souhaite avoir une unique exponentielle à droite et à gauche de l'équation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \exp(x) .
Pour tout nombre réel x et y, on a la propriété suivante pour l'exponentielle :
\exp\left(x+y \right) = \exp(x)\exp(y)
On peut donc simplifier l'équation :
e^{5 x} - e^{3} = 0 \Leftrightarrow e^{5 x} - e^{3} = 0
e^{5 x} - e^{3} = 0 \Leftrightarrow e^{5 x} = e^{3}
Comme pour tout nombre réel x et y, on a :
\exp(x) = \exp(y) \Leftrightarrow x = y
e^{5 x} - e^{3} = 0 \Leftrightarrow 5 x = 3
On en déduit que l'unique solution de cette équation est \left\{\frac{3}{5}\right\} .
Quelles sont les solutions de l'équation e^{1 - x} e^{x + 1} - e^{2} = 0 ?
Pour résoudre une équation avec des exponentielles, on souhaite avoir une unique exponentielle à droite et à gauche de l'équation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \exp(x) .
Pour tout nombre réel x et y, on a la propriété suivante pour l'exponentielle :
\exp\left(x+y \right) = \exp(x)\exp(y)
On peut donc simplifier l'équation :
e^{1 - x} e^{x + 1} - e^{2} = 0 \Leftrightarrow e^2 - e^2 = 0
e^{1 - x} e^{x + 1} - e^{2} = 0 \Leftrightarrow 0 = 0
Cette équation est tout le temps vraie et les solutions sont donc \mathbb{R} .
Quelles sont les solutions de l'équation e^{x - 2} e^{x + 1} - e = 0 ?
Pour résoudre une équation avec des exponentielles, on souhaite avoir une unique exponentielle à droite et à gauche de l'équation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \exp(x) .
Pour tout nombre réel x et y, on a la propriété suivante pour l'exponentielle :
\exp\left(x+y \right) = \exp(x)\exp(y)
On peut donc simplifier l'équation :
e^{x - 2} e^{x + 1} - e = 0 \Leftrightarrow e^{2 x - 1} - e = 0
e^{x-2}e^{x+1}-e=0 \Leftrightarrow e^{2x-1}=e^{1}
Comme pour tout nombre réel x et y, on a :
\exp(x) = \exp(y) \Leftrightarrow x = y
e^{x - 2} e^{x + 1} - e = 0 \Leftrightarrow 2 x - 1 = 1
On en déduit que l'unique solution de cette équation est \left\{1\right\} .