Fonctions réciproques
Du théorème des valeurs intermédiaires découle la construction de la fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.
Image d'un intervalle par une fonction continue
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I.
L'intervalle des valeurs prises par f(x) lorsque x parcourt I s'appelle l'image de l'intervalle par f.
On note f(I) l'image de I par la fonction f.
La fonction f définie pour tout nombre réel x par f(x)=x^2-x+1 est continue sur \mathbb{R}.
Son tableau de variations est :
Tableau de variations de f
L'image de l'intervalle ]-\infty ; \dfrac{1}{2}] est l'intervalle [\dfrac{3}{4} ; +\infty[.
L'image de l'intervalle [ \dfrac{1}{2} ; +\infty [ est l'intervalle [\dfrac{3}{4} ; +\infty[.
f est une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle I.
On admet que :
Pour tout réel y appartenant à f(I), il existe un seul et unique réel x appartenant à I tel que f(x)=y.
On considère la fonction f : x\longmapsto x^² définie sur l'intervalle I=[0 ; +\infty[.
On sait que f est continue et strictement croissante sur I.
De plus f(0)=0 et \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty.
Ainsi :
- f(I)=[0;+\infty[.
- Soit y appartenant à [0 ; +\infty[ : il existe un seul nombre positif x tel que f(x)=x^2=y.
En particulier :
- Il existe un unique réel positif x tel que x^2=4 : c'est x=2.
- Il existe un unique réel positif tel que x^2=5 : c'est x=\sqrt{5}.
Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires donne le même résultat pour un intervalle [a ; b].
Cette propriété est la généralisation de ce corollaire au cas d'un intervalle quelconque I de \mathbb{R}.
Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle
Soit f une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle I.
La fonction réciproque de f est la seule fonction g définie sur f(I) telle que pour tout x \in I et pour tout y\in f(I) , les propositions suivantes sont équivalentes :
- y est l'image de x par la fonction f ;
- x est l'image de y par la fonction g réciproque de f.
Ce qu'on peut écrire :
Pour tout réel x appartenant à I et pour tout réel y appartenant à f(I) :
f(x)=y\Leftrightarrow g(y)=x
- La fonction carré est définie, continue et strictement croissante sur [0;+\infty[.
La fonction réciproque de la fonction carré définie sur [0;+\infty[ est la fonction racine carrée définie sur [0;+\infty[.
En effet, pour tous réels x et y de [0;+\infty[, y=x^{2}\Leftrightarrow x=\sqrt{y}.
- La fonction inverse est définie, continue et strictement croissante sur ]0;+\infty[.
La fonction réciproque de la fonction inverse sur ]0;+\infty[ est la fonction inverse définie sur ]0;+\infty[ :
En effet, pour tous réels x et y de ]0;+\infty[, y=\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{y}.
f est une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle I.
Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives de la fonction f et de sa fonction réciproque sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.
Sur l'intervalle [0 ; +\infty[, les fonctions carré et racine carrée sont réciproques ; leurs courbes respectives sont donc symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.
Les courbes de la fonction carré et racine carrée sont symétriques par rapport à la droite y=x
La fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle possède des propriétés algébriques très utiles notamment lors de la résolution d'équations ou d'inéquations comportant des puissances.
Réciproque de la fonction exponentielle
Rappel : la fonction exponentielle
La fonction exponentielle définie sur \mathbb{R} par \exp: x\longmapsto \exp\left(x\right) ou e^{x} a les propriétés suivantes :
- Les limites aux bornes de son ensemble de définition sont :
\lim\limits_{x \to -\infty} e^{x} =0\\\\\\\lim\limits_{x \to +\infty} e^{x} =+\infty
- \exp est dérivable et sa dérivée est la fonction exponentielle : pour tout nombre réel x, (e^{x})' =e^{x}.
- Elle est continue sur \mathbb{R}.
- Elle est strictement croissante sur \mathbb{R}.
Rappel : propriétés algébriques de la fonction exponentielle
Pour tous réels a et b :
- e^{a} \gt 0
- e^{a+b}=e^{a} \times e^{b}
- e^{a-b}=\dfrac{e^{a}}{e^{b}}
- e^{a}=e^{b} est équivalent à a=b
e^{2}\times e^{-1}= e^{1}=e
La fonction exponentielle admet une fonction réciproque définie sur ]0;+\infty[.
Fonction logarithme népérien
La fonction réciproque de la fonction exponentielle s'appelle logarithme népérien.
Pour tout réel x>0, on appelle logarithme népérien de x l'antécédent de x par la fonction exponentielle.
Pour tout réel x>0, on note le logarithme népérien de x par : \ln\left(x\right).
Pour tout réel x et pour tout réel strictement positif y :
e^{x}=y\Leftrightarrow x=\ln\left(y\right)
- e^{0}=1 est équivalent à 0=\ln\left(1\right).
- e^{1}=e est équivalent à 1=\ln\left(e\right).
- e^{-1}=\dfrac{1}{e} est équivalent à -1=\ln\left(\dfrac{1}{e}\right).
Soit un réel x>0.
Alors \text{e}^{\ln(x)}=x.
\text{e}^{\ln(2)}=2
Soit un réel x.
Alors \ln\left(\text{e}^x\right)=x
\ln\left(\text{e}^{10}\right)=10
Propriétés algébriques de \ln
Soient a et b deux réels strictement positifs. On a :
\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)
Soient a et b deux réels strictement positifs.
ab \gt 0 donc \ln\left(a\right), \ln\left(b\right) et \ln\left(ab\right) sont bien définis.
D'une part :
e^{\ln\left(ab\right)}=ab
D'autre part :
e^{\ln\left(a\right)+\ln\left(b\right)}=e^{\ln\left(a\right)}\times e^{\ln\left(b\right)} =a\times b
Ainsi, pour tous réels a et b strictement positifs, e^{\ln\left(a\right)+\ln\left(b\right)}=e^{\ln\left(ab\right)}.
Cela signifie que \ln\left(ab\right)=\ln\left(a\right)+\ln\left(b\right).
\ln\left(2e\right)=\ln\left(2\right)+\ln\left(e\right)=1+\ln\left(2\right)
Soit un réel x>1.
On sait que x-1 \gt 0 et x \gt 0 donc \ln\left(x\right) et \ln\left(x-1\right) existent.
Alors \ln\left(x\right)+\ln\left(x-1\right)=\ln\left(x(x-1)\right).
\ln\left(x\right)+\ln\left(x-1\right)=\ln\left(x^2-x\right)
Soit un réel b>0.
Alors \ln\left(\frac{1}{b}\right)=-\ln\left(b\right).
Soit un réel b>0.
Alors e^{\ln\left(\frac{1}{b}\right)}=\dfrac{1}{b}\\ \\ \\e^{-\ln\left(b\right)}=\dfrac{1}{e^{\ln\left(b\right)}}=\dfrac{1}{b}
Ainsi, pour tout réel b strictement positif, e^{\ln\left(\frac{1}{b}\right)}=e^{-\ln\left(b\right)}.
Cette égalité est équivalente à \ln\left(\frac{1}{b}\right)=-\ln\left(b\right).
Soit un réel x.
On sait que x^{2}+1 \gt 0 donc \ln\left(\dfrac{1}{x^{2}+1}\right) existe.
Alors \ln\left(\frac{1}{x^2+1}\right)=-\ln\left(x^2+1\right).
Soient a et b deux réels strictement positifs.
Alors \ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln\left(a\right)-\ln\left(b\right).
Soit un réel x>0.
On sait que x \gt 0 et x^{2}+1 \gt 0 donc \ln\left(\dfrac{x}{x^{2}+1}\right) existe.
On a : \ln\left(\frac{x}{x^2+1}\right)=\ln\left(x\right)-\ln\left(x^2+1\right).
Soit un réel a>0 et un entier relatif n.
Alors \ln\left(a^n\right)=n\ln\left(a\right).
\ln\left(1\,000\,000\right)=\ln\left(10^6\right)=6\ln\left(10\right)
Soit un réel a>0.
\ln\left(\sqrt{a}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(a\right)
\ln\left(\sqrt{2}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(2\right)
Soit un réel a>0.
Si l'on utilise le fait que \sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}, la formule précédente peut encore s'écrire :
\ln\left(a^n\right)=n\ln\left(a\right) avec n=\frac{1}{2}
Étude de la fonction \ln
Limites de la fonction \ln aux bornes de son ensemble de définition
On a :
\lim\limits_{x \to 0^{+}}\ln\left(x\right) =-\infty
\lim\limits_{x \to +\infty}\ln\left(x\right)=+\infty
Interprétation graphique de la limite en 0
Dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction \ln admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale.
Dérivée et sens de variation
On admet que la fonction logarithme népérien est dérivable sur son ensemble de définition ]0;+\infty[ .
La fonction \ln est dérivable sur ]0;+\infty[ et, pour tout réel x, on a :
\ln'(x)=\frac{1}{x}
La fonction \ln est strictement croissante sur ]0;+\infty[.
Le tableau complet des variations de \ln sur ]0;+\infty[ est :
Pour tous réels a et b strictement positifs, on a :
- \ln\left(a\right)=\ln\left(b\right) est équivalent à a=b ;
- \ln\left(a\right) \gt \ln\left(b\right) est équivalent à a \gt b ;
- \ln\left(a\right) \gt 0 est équivalent à a \gt 1 ;
- ln(a)\lt0 est équivalent à 0 \lt a \lt 1.
On cherche le plus grand entier naturel n tel que 0{,}92^{n} \gt 0{,}5.
Or, pour tous a \gt 0 et b \gt 0 :
a \gt b est équivalent à \ln\left(a\right) \gt \ln\left(b\right) car la fonction \ln est strictement croissante sur ]0;+\infty[.
Ainsi on a les équivalences suivantes :
0{,}92^{n} \gt 0{,}5\Leftrightarrow \ln\left(0{,}92^{n}\right)\ \gt \ln\left(0{,}5\right)
Comme pour tout réel a>0 et tout entier relatif n : \ln\left(a^n\right)=n\ln\left(a\right) :
0{,}92^{n} \gt 0{,}5\Leftrightarrow n\ln\left(0{,}92\right) \gt \ln\left(0{,}5\right)
Comme 0 \lt 0{,}92 \lt 1, on a :
\ln\left(0{,}92\right) \lt 0
Ainsi :
0{,}92^{n} \gt 0{,}5\Leftrightarrow n \lt \dfrac{ \ln\left(0{,}5\right)}{\ln\left(0{,}92\right)}
Avec la calculatrice :
\dfrac{ \ln\left(0{,}5\right)}{\ln\left(0{,}92\right)}\approx 8{,}3
En conclusion, le plus grand entier naturel tel que 0{,}92^{n} \gt 0{,}5 est n=8.
On veut résoudre sur \mathbb{R} l'inéquation \ln\left(1-x\right) \lt 0.
Soit x\in\mathbb{R}.
\ln\left(1-x\right) existe si et seulement si 1-x \gt 0 c'est-à-dire si et seulement si x \lt 1.
On résout donc l'inéquation sur l'intervalle ]-\infty ; 1[.
Pour tout réel x appartenant à ]-\infty ; 1[ :
\ln\left(1-x\right) \lt 0 \Leftrightarrow1-x \lt 1
\ln\left(1-x\right) \lt 0 \Leftrightarrow 0 \lt x
Ainsi l'ensemble solution est constitué de tous les nombres réels x tels que x \gt 0 et x \lt 1 :
S=]0;1[
Représentation graphique
Étant la réciproque de la fonction exponentielle, la courbe de la fonction \ln est symétrique à celle de la fonction exponentielle par rapport à la droite d'équation y=x (parfois appelée la première bissectrice).
Les courbes des fonctions \ln et \exp sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.
Dérivées des fonctions composées
Les quatre opérations de base permettent de décrire et d'étudier un grand nombre de fonctions. Dans certains cas, pour simplifier son étude, on peut également écrire une fonction comme la composée de plusieurs fonctions usuelles.
La composée de deux fonctions
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R} à valeurs dans un intervalle J de \mathbb{R} et g une fonction définie sur l'intervalle J.
On appelle composée de f suivie de g la fonction h définie, pour tout réel x de l'intervalle I, par :
h(x)=g(f(x))
La fonction h définie sur \mathbb{R} par h(x)=\sqrt{x^2+2} est l'enchaînement de deux fonctions f puis g :
- À tout réel x, on applique d'abord la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2+2.
L' intervalle image de \mathbb{R} par f est [2 ; +\infty[.
- A f(x)=x^2+2 ainsi obtenu, on applique la fonction g définie sur [2;+\infty[ par g(x)=\sqrt{x}.
La fonction h est donc la composée de f suivie de g.
On note pour tout réel x : h(x)=g(f(x)).
Soient a et b deux nombres réels, et f : x\longmapsto ax+b fonction affine définie et dérivable sur \mathbb{R}.
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}.
Alors la composée de f suivie de g est définie et dérivable en tout réel x tel que (ax+b) \in I.
Et on a, pour tout réel x tel que (ax+b) \in I :
[g'(f(x))]=f'(x) \times g'(f(x))
Soit :
[g'(ax+b)]=a \times g'(ax+b)
On considère la fonction h définie sur ] \dfrac{3}{2} ; +\infty[ par h(x)=\dfrac{1}{2x-3}.
h est la composée de :
- la fonction affine f: x\longmapsto 2x-3 définie sur ] \dfrac{3}{2} ; +\infty[ et à valeurs dans ] 0 ; +\infty[ ;
- par la fonction g : x\longmapsto\dfrac{1}{x} qui est définie et dérivable sur ] 0 ; +\infty[.
Ainsi h est dérivable sur ] \dfrac{3}{2} ; +\infty[ et, pour tout réel x appartenant à ] \dfrac{3}{2} ; +\infty[ :
h'(x)=[g(f(x))]'=2\times g'(f(x))
La fonction g est la fonction inverse : on sait que sur ] 0 ; +\infty[, g'(x)= -\dfrac{1}{x^{2}}.
Ainsi g'(f(x))= -\dfrac{1}{f(x)^{2}}.
Pour tout réel x appartenant à ] \dfrac{3}{2} ; +\infty[ : h'(x)=2\times (-\dfrac{1}{(2x-3)^{2}})=-\dfrac{2}{(2x-3)^{2}}.
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Alors la composée de u suivie de la fonction carré est définie et dérivable sur I.
On a :
Pour tout réel x appartenant à I :
[(u(x)^{2}]'=2\times u'(x) \times u(x)
On considère la fonction h définie sur \mathbb{R} par h(x)=(3x-e^{x})^{2}.
h est la composée de la fonction f:x\longmapsto3x-e^{x} qui est définie et dérivable sur \mathbb{R} par la fonction carré.
On a donc, pour tout réel x, h'(x)=(f'(x)^{2})=2\times f'(x)\times f(x).
Pour tout réel x, f'(x)=3-e^{x}.
Ainsi, pour tout réel x, h'(x)=2\times (3-e^{x})\times (3x-e^{x}).
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
La composée de u suivie de la fonction exponentielle est définie et dérivable sur I.
On a, pour tout réel x appartenant à I :
(e^{u(x)})'=u'(x)\times e^{u(x)}
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=e^{x^{2}-x+3}.
f est la composée de la fonction polynôme u : x\longmapsto x^2-x+3 qui est définie et dérivable sur \mathbb{R}, par la fonction exponentielle.
f est donc dérivable sur \mathbb{R} et on a, pour tout nombre réel x :
f'(x)=(e^u(x))'=u'(x)\times e^{u(x)}
Ainsi f'(x)=(e^{x^2-x+3})'=(2x-1)\times e^{x^2-x+3}.
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La composée de u par la fonction \ln notée également f=\ln(u), est dérivable sur I et, pour tout réel x de I, on a :
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f(x)=\ln\left(x^2+1\right)
f=\ln(u) avec u(x)=x^2+1 pour tout réel x.
- Comme fonction polynôme, u est dérivable sur \mathbb{R} de dérivée la fonction u' définie sur \mathbb{R} par u'(x)=2x.
- De plus u est strictement positive sur \mathbb{R}.
Par conséquent, f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x :
f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}